关于数学物理方程教学的一些体会
在理工类专业中，数学物理方程是一门重要的基础必修课。本课程主要讲授三类典型的数学物理方程的导出、定解问题的求解以及解的性质的探讨。这门课程承上启下，它既与更基础的高等数学课程有直接的关系，又与很多专业的后续课程有着密切的联系，为这些课程提供一些重要的概念、公式和计算方法。通过本课程的学习，既可以提高学生解决实际问题的能力，又能增强他们的科学素养，从而为今后的专业发展奠定良好的理论基础。
在该门课程的教学中，学生常常反映该课程难度较大，过于理论化，计算过程复杂，教师也普遍反映讲授的知识内容不好把握，总体上比较难教，教师的教和学生的学都遇到了很大的困难。这主要归因于以下一些方面：首先，该课程会用到很多的专业知识。主要涉及到的课程有数学分析、常微分方程、线性代数、复变函数以及一些物理课程。其次，该课程具有较高的理论性，运算工作量很大。方程的主要的解法就有行波法、分离变量法、积分变换法（Fourier 变换、Laplace变换）、Green函数法等方法。在很多典型定解问题的解答过程中，计算推导过程往往复杂、冗长，学生容易在复杂漫长的板书之中迷失，容易产生畏惧情绪。再次，学生缺乏运用数学知识解决应用问题的经验，这使得他们在做作业时会遇到很大的难度。针对以上现状，笔者结合自身的教学实践，谈谈对这门课教学的一些理解和体会。
1 选好教学方法， 适应学生的理解能力
本课程重点介绍了用分离变量法求解偏微分方程的定解问题。首先将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题，这一步假设了方程的解具有乘性分离的形式，这正是分离变量法名称的来源。然后确定出特征值和特征函数，这步主要是求解Sturm-Liouville问题。接下来再解其余的常微分方程，我们可以得到解的分立形式。最后为了使解满足其余的定解条件，再把各分立解叠加成级数形式的一般解， 再借助于特征函数的正交性确定出级数中各分立解的系数。通过这种标准的求解过程的学习，可以使学生快速熟悉并掌握分离变量这一求解方程的重要方法。
再如，积分变换法是解数学物理方程的一种典型的方法。通常的教学讲授顺序是先讲Fourier变换法，然后讲Laplace变换法；最后当课时足够时，会介绍一般的积分变换，这样前面的两种方法就是一般情况的两个特例了。利用泛函分析和算子理论等工具我们可以深入研究一般的变换法，这样就可以用演绎法给出Fourier变换和Laplace变换的一些重要结论；不仅如此，还能定义其它的积分变换，如Hankel变换、Mellin变换、有限Fourier变换等。以上这些是普通教材的讲授顺序，我们可以对它做一些更改、调整。比如说，我们可以首先介绍一般的积分变换，推导其性质定理，然后再用演绎法介绍Fourier变换和应用，最后讲授Laplace变换和应用。这种教学方法把事物认知过程中的归纳法变为演绎法，有助于学生更清楚的认识到积分变换法的实质和共性，这是教学改革中的一些有益的尝试。
再如，目前国内外大部分教材中，球内、外的三维Laplace方程和Poisson方程的Neumann函数都是用曲面积分与Fourier-Legendre级数导出的。但是，若学生尚未学习特殊函数的知识，这样讲述他们接受就有困难。于是，我们转而采用定积分的办法来构造Neumann函数。例如，对于球内的Laplace方程的Neumann问题
2 结合专业需求，精选教学内容
数学物理方程课程首先介绍一些常见和通用的基本概念和原理，比如通解、特解、线性叠加原理、齐次化原理等。然后重点阐述解方程的分离变量法，在此基础上，引申介绍了常见的特殊函数及应用。接下来又讲授求解方程的其它方法，即积分变换法、Green函数法和处理泛函极值的变分法。有些教材还会介绍偏微分方程的一些较为现代的知识和工具，如极值原理、上下解方法等。
在本课程的教学中，我们应该做到主次分明、突出重点。数学物理方程在第一章或导论部分一般会介绍一阶线性偏微分方程的概念和解法，主要涉及的是线性和拟线性微分方程的特征线解法。课程的后面部分才详细介绍二阶线性偏微分方程的相关性质与解法。在教学过程中，应当强化重点，以讲述二阶方程为主，不讲或少讲一阶线性方程的知识。另一方面，二阶和高阶偏微分方程有很多种解法，我们教学时应以分离变量法为主，简要介绍其它一些解法，如积分变换法、变分法等。
本课程中有些常见的问题非常重要，比如一维弦振动问题。在教学中为促进学生的理解我们可以多讲透一些例题。例如考虑一维弦的如下自由振动问题。
在研究解的性质时，我们难以想象出此问题解的形状，即解函数的图形。这时候可以借助于计算机辅助技术，用数学软件绘制出解的图形，从而加深学生对达朗贝尔公式和波动现象的规律的理解。
3 尽力培养学生的自主学习能力
与中学教学相比，大学阶段的学习在方法上有一个质的飞跃，主要体现在自主和独立学习能力的培养与提高。启发式教学是教学工作中的一项重要原则。教学过程中，应该把学生当作主体，采用引导的方法，启发他们自己思考，让他们重现发现知识的过程。因此，教师需要在问题的引入、语言的选用和讲解的顺序等多个方面认真组织安排，构造问题情境。比如在讲授完Laplace方程的解，即调和函数的性质之后，要启发学生思考：波动方程、热传导方程又有什么样的性质，这些不同类型方程的解在性质上差别有多大，这些差别的来源是什么？同时也可以诱导学生认识到，调和函数的优良性质不是Laplace方程特有的，实际上它是所有二阶椭圆型方程共有的性质。关于椭圆型方程和椭圆算子等知识和背景，可以鼓励有兴趣的学生查阅专业文献来做些初步了解。 培养学生自主学习能力，要重点做到以下方面：以教材为中心，指定参考书，让学生在学习中，开阔眼界，从多个角度加深理解概念；根据教学进度，出预习思考题，使学生在学习新内容之前知道关键问题，在听课时抓住重点；安排一定的教学内容让学生自学， 数学物理方程是数学类课程中内容比较多的一门课，某些章节或例题可以留给学生自学。
例如在讲授Fourier变换时，应该适时的介绍一些Fourier分析在信息科学与技术中的应用，然后教师介绍和推荐一些参考资料，让学生课后去查找、去归纳，他们会独立的去钻研，这便于不断地提高学生的自主学习能力。
课程介绍了调和函数的基本性质。利用Green函数和偏微分方程的基本解的基本概念，用初等方法给出了某些规则区域，如球、半空间和第一卦限等的Green函?担?这些知识后来被用于推导调和函数的性质。通过这些内容的学习，可以让学生了解到泛函分析这一现代数学工具在偏微分方程理论研究中的应用，从而激发学生的学习兴趣。
4 改革教学手段和课程考核方法
随着科学技术的不断进步，逐渐出现了一些现代教学手段。多媒体教学是一种常用的现代教学方法。利用计算机辅助设备进行多媒体教学，可以大大节省教师书写概念、定理和例题的时间，从而减轻了教师的工作强度，这不仅为老师讲课提供了充裕的时间，也为学生留出独立思考和课堂练习的时间，教师可适当调整课程内容，丰富教学内容，提高课时利用率，教学效率也相应提高了。另外数学物理方程内容比较抽象，用传统的教学方法学生不但不好理解而且感到枯燥无味，有了多媒体的运用，教学内容更直观更生动了，从理论到公式的推导演算都通过多媒体演示出来，把理论和实践紧密的联系起来，把各种内容有机地融合起来。多媒体还可以模拟一些实际问题，这可以激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，从学生被动的学转化为主动的思考，体现出教与学的过程中学生所处的主导地位。
数学实验的方法也可以应用到课程的讲授中。教学中，应把数学实验提到一定的高度，这对培养学生综合运用数学知识、分析解决实际问题的意识、兴趣和能力有很大的促进作用，也是提高学生数学素质必不可少的一种有效手段。对每一个概念、定理、方法都应让学生从实际问题中建立模型，再通过数学实验来完成，在完成过程中要有完整的实验报告，由教师在讲授过程中按不同章节根据需要安排。
在实践中，课程的考核方法也需要改革。除以基本要求为主的期末考试外，鼓励学生写小论文，或总结学习成果，或利用已学到知识自己提出问题、解决问题。我们已在部分教学班中试行每次都有一些好的作品。同时，知识的传授方式要由填鸭式改为讨论式。在无小班习题课的条件下，在上大课时尽量采用与学生一起提出问题解决问题的方式，这种做法常常收到较好的实际效果。在讲授课程内容的过程中，应突出讲授其中蕴含的最基本的数学思想。增加平时成绩的考核比例，立足于课堂，并贯穿于整个教学过程，把教学目的和考查结果有机的结合起来。课堂随时提问，回答表现良好的记上适当的分数。课堂上不定期的做一些练习，促使学生在课堂上积极思考，力求听懂学会，每次课堂练习都记入平时成绩，做的好的分数高。习题课也可以作为平时考核的一个环节，作业要注意避免学生抄袭。这些教学实践中的措施有助于提高课堂学习的效率，让学生自己思考和总结课程中的基本内容、重难点和方法技巧，能有效地提高学生学习的积极性和学习效果，帮助他们掌握重要的基本知识和技能，为进一步的学习和工作打下坚实的理论基础。
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