“简易逻辑”教学中存在的问题——兼答《关于命题的困惑》一文中的“困惑”
出处：论文网
时间：2006-05-14
1 关于命题的两个定义
? 关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题．这两个定义都不严格．两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同．在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假．所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假．例如语句“4的平方根是2”，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题．
? 2 关于“或”、“且”的含义
? 复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q，既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论．
例1 （1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，
写出“p或q”．
（2）p：四条边相等的四边形是正方形；
q：四个角相等的四边形是正方形，
写出“p且q”．
错解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
分析：（1）（2）两题中的p、q都是假命题，所以“p或q”、“p且q”也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题．错误的原因是：（1）联结了两命题的结论；（2）联结了两命题的条件．
正确的答案是：
（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．
（2）p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
这两个命题都是假命题．
但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的．
例2?已知p：菱形的对角线互相平分；
q：菱形的对角线互相垂直，
写出“p且q”．
解：p且q：菱形的对角线互相平分且（菱形的对角线互相）垂直．
这个命题中括号内的部分可以省略．
文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能简写成“4的平方根是2或-2”．
3 关于“非”的含义
“非”的含义有下列四条：
3．1 “非p”只否定p的结论
“非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是“非p”与否命题的区别．所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论．
例3 p：有些质数是奇数．写出“非p”．
错解：有些质数不是奇数．
分析：因为p是真命题，所以“非p”应为假命题，上述命题不假，故答案错．错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚．这个命题的条件是“质数”，结论是“有些是奇数”，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，“非p”：质数无奇数．
不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”．
例4 p：方程x２－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”?
错解：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有两个不相等的实根．
分析：命题p的条件是“方程ｘ２－5ｘ＋6＝0”，结论是“有两个相等的实根”，所以“非p”应否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”应为：方程x２－5x＋6＝0没有两个相等的实根．
3．2 p与“非p”真假必须相反
例5 写出例1（2）中命题p的否定“非p”．
错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形．
因为p是假命题，“非p”必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是“非p”．
正确答案为
“非p”：四条边都相等的四边形不都是正方形．
“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定，此例的“是”，其含义是“都是”，故其否定为“不都是”．
3．3 “非p”必须包含p的所有对立面
? 关于命题，初中的定义是：判断一件事情的语句叫命题；高中的定义是可以判断真假的语句叫命题．这两个定义都不严格．两个定义中使用的“判断”一词，与语文中通常的意义不尽相同．在逻辑学上，它的意义是：判断是对客观事物有所肯定或否定的思维形式，判断有真有假．所以，初中和高中的两个定义在意义上是完全相同的：命题是这样一个语句，这个语句能够判断真假．例如语句“4的平方根是2”，作为一个判断，它是错误的，所以它是命题，是假命题．
? 2 关于“或”、“且”的含义
? 复合命题“p或q”与“p且q”是用逻辑联结词“或”与“且”联结两个命题p与q，既不能用“或”与“且”去联结两个命题的条件，也不能用它们去联结两个命题的结论．
例1 （1）已知p：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2，
写出“p或q”．
（2）p：四条边相等的四边形是正方形；
q：四个角相等的四边形是正方形，
写出“p且q”．
错解：（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或x=2；（2）p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
分析：（1）（2）两题中的p、q都是假命题，所以“p或q”、“p且q”也都是假命题，而上述解答中写出的两个命题却都是真命题．错误的原因是：（1）联结了两命题的结论；（2）联结了两命题的条件．
正确的答案是：
（1）p或q：方程（x-1）（x-2）=0的根是x=1或方程（x-1）（x-2）=0的根是x=2．
（2）p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
这两个命题都是假命题．
但是，在不影响命题真值的情况下，又可省略第二个命题的主语，这是符合语言习惯的．
例2?已知p：菱形的对角线互相平分；
q：菱形的对角线互相垂直，
写出“p且q”．
解：p且q：菱形的对角线互相平分且（菱形的对角线互相）垂直．
这个命题中括号内的部分可以省略．
文［1］中“4的平方根是2，或4的平方根是-2”，就不能简写成“4的平方根是2或-2”．
3 关于“非”的含义
“非”的含义有下列四条：
3．1 “非p”只否定p的结论
“非”就是否定，所以“非p”也叫做命题p的否定，但“非p”之“非”只否定命题的结论，不能否定命题的条件，也不能将条件和结论都否定，这也是“非p”与否命题的区别．所以欲写“非p”应先搞清p的条件与结论．
例3 p：有些质数是奇数．写出“非p”．
错解：有些质数不是奇数．
分析：因为p是真命题，所以“非p”应为假命题，上述命题不假，故答案错．错误的原因是对p的条件与结论没有搞清楚．这个命题的条件是“质数”，结论是“有些是奇数”，正确的解法：先将p写成等价形式，质数有些是奇数，“非p”：质数无奇数．
不是用“不”否定“是”，而是用“无”否定“有些是”．
例4 p：方程x２－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”?
错解：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有两个不相等的实根．
分析：命题p的条件是“方程ｘ２－5ｘ＋6＝0”，结论是“有两个相等的实根”，所以“非p”应否定“有”，而不能否定“相等”，所以“非p”应为：方程x２－5x＋6＝0没有两个相等的实根．
3．2 p与“非p”真假必须相反
例5 写出例1（2）中命题p的否定“非p”．
错解：非p：四条边都相等的四边形不是正方形．
因为p是假命题，“非p”必须是真命题，而上述命题也是假命题，所以上述命题不是“非p”．
正确答案为
“非p”：四条边都相等的四边形不都是正方形．
“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，要视“是”的含义而定，此例的“是”，其含义是“都是”，故其否定为“不都是”．
3．3 “非p”必须包含p的所有对立面
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