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“以错纠错”的案例分析

作者:罗增儒
出处:论文网
时间:2006-05-14

“以错纠错”的案例分析

文/罗增儒

  在文[1]中,笔者认为:“学生在解题中出错是学习活动的必然现象,教师对错例的处理是解题教学的正常业务,并且,错例剖析具有正例示范所不可替代的作用,两者相辅相成构成完整的解题教学”.下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象,竟能在多家刊物延续十年之久,则促使笔者进一步思考:错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求.
  一、出示案例
  我们先引述3处典型做法.
  1.早在1990年,文[2]曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”;然后在文[3]、[4]中表达了同样的看法.最近(2001年5月)又在文[5]中将欠妥的认识原原本本发表出来(见原文例4):
  例1 若 (3an+4bn)=8, (6an-bn)=1,求 (3an+bn).
  学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉,受其影响,产生了下列错误解法:
  由

(3an+4bn)=8,

(6an-bn)=1.

  得

3 n+4 n=8,   ①

6 n- n=1.    ②

  ①×2-②,可得
   n=15/9,
  并求得 n=4/9.
  ∴  (3an+bn)=3 n n=12/9+15/9=3.
  这是一种错误的解法.因为按照极限运算法则,若 n=A, n=B,则才有 (an+bn)= n n=A+B.反之不真,而由 (3an+bn)=8,
   (6an-bn)=1,
  不一定保证 n n存在.比如
  an=4/3+(1/3)n2,bn=1-(1/4)n2
  则有 (3an+4bn)=8,
  但是an与bn均不存在极限.
  正解: (3an+bn)=(1/3) (3an+4bn)+(1/3) (6an-bn
  =8/3+1/3=3.
  某些法则或定理,其结论是在限定条件下产生的.如果平时练习,限定条件的问题练多了,就容易忽视限定条件,造成对法则、定理理解的偏差,产生定势思维.教师在课堂教学时,应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲,就是让学生认识到条件在结论中的重要地位,把条件与结论等同起来强调,并通过恰当的反例来说明.
  要克服思维定势的消极影响,就要从加强双基教学入手,加强数学基本思想和方法的训练,排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势,鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法,让学生从不同角度多方位地去考虑问题,拓展思维的深度与广度.(引文完)
  2.数学通报1999年第11期(P.43)文[6]记述了一次公开课:在一次公开课评比中,有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时,曾举了这样一个例子(本文记为例2):
  例2 已知 (2an+3bn)=5, (an-bn)=2,求 (an+bn).
  当时有位学生提出这样一种解法:
  解:设 n=A, n=B,则由题设可知
   (2an+3bn)=2 n+3 n=2A+3B=5,  ①
   (аn-bn)= n n=A-B=2.  ②
  联立①,②解得
  A=11/5,B=1/5.
  ∴ (an+bn)= n n=A+B=11/5+1/5=12/5.
  对于上述解法,这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题: n n一定存在吗?
  随后,教师鲜明地指出:由题设我们不能判断 n n是否一定存在,从而上述解法缺乏依据,是错误的.关于这类问题,我们常用“待定系数法”求解.
  另解:设an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)(其中x,y为待定的系数),则
  an+bn=(2x+y)an+(3x-y)bn
  从而有

2x+y=1,

3x-y=1.

  解之得 x=2/5,y=1/5.
  ∴ an+bn=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn),
  ∴  (an+bn)= [(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)]=(2/5) (2an+3bn)+(1/5) (an-bn)=2/5×5+1/5×2=12/5.
  这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则,又充分暴露了学生存在的问题,给学生留下了极为深刻的印象,深受评委们的一致好评.(引文完)
  3.江苏省常州高级中学(是一所有90年历史的江南名校)数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析(高中)》,其第6章题30如下(见文[7]P.342,本文记为例3):
  例3 已知 (2an+3bn)=7, (3an-2bn)=4,求 (2an+bn)之值.
  误解:∵ (2an+3bn)=7, (3an-2bn)=4,
  

2 n+3 n=7,   ①

3 n-2 n=4.   ②

  ①×2+②×3,得
  13 n=26,
  ∴ n=2.
  代入式①,得
   n=1.
  ∴  (2an+bn)=2 n n=2×2+1=5.
  正确解法:设m(2an+3bn)+p(3an-2bn)=k(2an+bn).
  其中m,p,k均为待定的整数,则比较an,bn的系数得

2m+3p=2k,  ①

3m-2p=k.    ②

  由式①、②消去k,得
  2m+3p=2(3m-2p)=6m-4p,
  ∴  4m=7p.
  当m,p分别取7和4时,k=13.
  ∴ 2an+bn=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn).
  ∴  (2an+bn)=(7/13) (2an+3bn)+(4/13) (3an-2bn)=7/13×7+4/13×4=5.
  错因分析与解题指导:已知 (2an+3bn)=7, (3an-2bn)=4,并不意味着 n n存在,在误解中利用数列极限的运算法则: (an±bn)= n± n,默认 n n存在,这是错误的.要求 (2an+bn),就必须将2an+bn去用(2an+3bn)与(3an-2bn)表示出来,为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解.显然m、p的值不是惟一的,但是对不同的m、p之值求得的极限值是相同的,因此可以取使计算较为方便的整数值.(引文完)
  以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别,而教师(包括评委)的看法是完全一致的.类似的看法还可参见文[8]~[12].
  虽然,大家的看法如此一致,如此长久,但文[6]的作者仍能力排众议,大声发问:“由题设,真的不能判断 n n是否存在吗?”回答是否定的.教师的“纠错”比学生错得更多.
  二、案例分析
  我们以例1为主来进行分析,弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等.
  1.学生解法的认识
  学生的解法中有两个合理的成分:其一是能紧紧抓住两个已知条件,综合使用;其二是想到运用极限运算法则;得出的极限值也确为所求.
  缺点是默认了 n n的存在;也不会整体使用极限运算法则,这可以从3个方面来分析.
  (1)知识性错误
  表现在:没有验证an与bn极限的存在性就使用极限运算法则;没有证明或证明不了an与bn极限的存在性;还不会变通使用(如借用待定系数法)极限运算法则.
  (2)逻辑性错误
  表现为逻辑上的“不能推出”:跳过an与bn极限存在性的必要前提,直接使用极限运算法则.但此处仅仅为未验证前提,而并非“前提不真”.对此,“教师”的错误性质比学生的默认更有问题,下面会谈到.
  (3)心理性错误
  表现为“潜在假设”,默认an与bn极限的存在性,既未想到要证明,更未给出证明.
  由于在已知条件下,an与bn的极限确实存在,所以,学生的错误属于“对而不全”,缺少了关键步骤.
  这个事实说明,学生的学习过程,是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动.其“对而不全”的解法,正是学生对该数学问题的一种“替代观念”,是建构活动的一个产物,既有一定的合理性,又需要完善.接下来的反审活动,有助于学生掌握元认知知识,获得元认知体验和进行元认知调控.
  2.教师认为“不一定保证 n n存在”是不对的
  事实上,在已知条件下,用待定系数法不仅可以求 (3an+bn),而且可以求 (αan+βbn),取α=1,β=0或α=0,β=1只不过是一种更简单的特殊情况.我们来给出一个更一般的结论.
  命题1 若 (α1n+β1n)=c1 (α2n+β2n)=c2
  则当a1β2-α2β1≠0时,两个极限 n n均存在,且
   n=c1β2-c2β1/α1β2-α2β1 n=α12-α21/α1β2-α2β1
  证明:设
  an=x(α1n+β1n)+y(α2n+β2n
  =(α1x+α2y)an+(β1x+β2y)bn
  令

α1x+α2y=1,

β1x+β2y=0.

  解得 x=β2/(α1β2-α2β1),y=-β1/(α1β2-α2β1).
  从而
   [x(α1n+β1n)+y(α2n+β2n)]
  =x (α1n+β1n)+y (α2n+β2n
  =xc1+yc2=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1).
  即  n=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1).
  同理可确定bn极限的存在性,并计算出
   n=(α12-α21)/(α1β2-α2β1).
  (1)取α1=3,β1=4,c1=8,α2=6,β2=-1,c2=1,可得 n=4/9, n=5/3.这就是例1.也可以用文[2]正解的方法求出
   n [(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)]
  =(1/27) (3an+4bn)+(4/27) (6an-bn)=8/27+4/27=4/9.
   n [(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)]
  =(2/9) (3an+4bn)-(1/9) (6an-bn)=16/9-1/9=5/3.
  (2)取α1=2,β1=3,c1=5,α2=1,β2=-1,c2=2,这便得例2,有
   n=(1/5) (2an+3bn)+(3/5) (an-bn
  =1/5×5+3/5×2=11/5,
   n=(1/5) (2an+3bn)-(2/5) (an-bn
  =1/5×5-2/5×2=1/5.
  (3)取α1=2,β1=3,c1=7,α2=3,β2=-2,c2=4,这便得例3,确实有 n=2, n=1.
  应该说,求 n n与求 (αan+βbn)道理是一样的,为什么会有这么多的教师长期坚持“ n n不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外,而对多数人来说,恐怕还有一个“人云亦云”,迷信权威、迷信刊物的心理性错误.我们说,失去自信比缺少知识更为可怕.
  3.反例“an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4”的错误根源
  上面已经严格证明了 n n的存在性(以α1β2-α2β1≠0为前提),因而文[2]作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的,问题是应该找出错误的原因,弄清错误的性质.
  (1)检验可以发现错误
  把an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4代入已知条件,有
   (3an+4bn)= 8=8.
  但 (6an-bn)= (7+9/4n2
  不存在,更不等于1.
  所以,文[2]的反例并不能成为反例.其之所以成为反例,是作者根据不充分的前提(来验证第2个条件)得出的,逻辑上犯有“不能推出”的错误.
  (2)误举反例的原因分析
  ①首先是对题目中有两个条件重视不够,在找反例时,主要依据“若 n n存在,则 (an+bn)= n n,反之不真(思维定势)”.这对只有一个条件是成立的;据此找出的反例也只验证第1个条件,而不验证第2个条件,这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移.
  ②其次是对下面的结论不知道,或未认真思考过:
  命题2 若 (α1n+β1n)=c1 (α2n+β2n)=c2
  则有
  (i)当α1β2-α2β1≠0时, n n均存在;
  (ii)当α1β2-α2β1=0且α12-α21=0时,则an,bn的极限不一定存在.(文[2]的反例适用这一情况)
  (iii)当α1β2-α2β1=0且α12-α21≠0,则an,bn的极限均不存在.
  这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用
  对比“反例”所表现出来的两个错误根源,我们认为主要还是知识原因,由于教师没有看透题目的数学实质,从而也没有看透学生的错误性质,所进行的大段文字分析缺少数学针对性.所以,对每一个教师而言,提高数学专业水平是一个永无止境的课题.
  4.试作一个探究性的教学设计
  本文“以错纠错”的例子,持续了10年以上的时间,发表在多家刊物上,还出现在文[6]正确纠正之后,这对读者、编者和作者都有很多教训,也错过了一个培养学生创新精神的机会.我们愿在例题数学实质较为清楚的时候,提出一个教学设计,分为7步.
  (1)提出问题,暴露学生的真实思想.
  其过程是给出例1(或例2、例3等,还可以根据命题2编拟3种类型的例题),让学生得出不完整的解法.
  (2)反思,引发认知冲突.
  教师与学生一起检查每一步的依据,发现使用极限运算法则需要 n n的存在性做前提.前提存在吗?有两种可能:或举一个反例来否定,或给出一个证明来肯定.
  (3)分两大组自主探索,自我反省.
  按照证实与证伪可以分两大组,下分小组,每组三五人,让学生在学习共同体中自主探索,教师巡回指导,这将是一个十分生动的过程.
  (4)得出 n n的求法.
  这样,学生的求解就完整了.可以分成三步:
  ①求 n=…=4/9;
  ②求 n=…=15/9;
  ③求 (3an+bn)=…=3.
  (5)进行解题分析,得出改进解法.
  引导学生认识到:
  ①求 n n所使用的方法也可以直接用到求 (3an+bn)上来.
  ②先分别求 n n,再合并得结论 (3an+bn)有思维回路:

(3an+4bn)(合)

n

(分)

(6an-bn)(合)

n

     (3an+bn).(合)
  删除中间步骤,可得
   (3an+bn)= [(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)]
  =(1/3) (3an+4bn)+(1/3) (6an-bn)=8/3+1/3=3.
  (6)探索一般性.
  ①考虑例1的结论一般化改为,求 (αan+βbn);
  ②考虑条件、结论均一般化,让学生发现命题1(α1β2-α2β1≠0);
  ③再加一个层次,允许α1β2-α2β1=0,让学生再发现命题2.
  (7)运用建构主义和元认知的观点(不出现名词)进行总结.
  参考文献
  1 罗增儒.解题分析——谈错例剖析.中学数学教学参考,1999,12
  2 赵春祥.思维定势在解题中的消极影响举例.中学教研(数学),1990,6
  3 赵春祥.从整体结构上解数列题.教学月刊·中学理科版,1998,10
  4 赵春祥.数列与数列极限中应注意的几个问题.教学月刊·中学理科版,1999,6
  5 赵春祥.思维定势消极作用例说.中学数学研究(广州),2001,5
  6 王秀彩.“众所认可”的就一定是“正确”的吗?数学通报,1999,11
  7 杨浩清主编.数学题误解分析(高中).南京:东南大学出版社,1996
  8 唐宗保.浅谈线性组合在中学数学解题中的运用.数学通讯,1996,10
  9 许育群.解数列与极限问题的几类错误浅析.数理化学习(高中版),1997,22
  10 屈瑞东.数列极限运算易错两例.数理天地,1999,11
  11 童其林.例谈待定系数法在解题中的应用.考试,2000,4
  12 唐宗保.常见非等价变形的成因分析.数学通讯,2001,9

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