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中学数学构造法的初探

出处:论文网
时间:2014-12-14

中学数学构造法的初探

  数学构造法或构造思想方法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质,运用数学基本思想经过认真的观察、深入的思考,构造出满足条件或结论的数学对象,或者构造与条件或结论具有某种特定关系的辅助数学对象,从而使问题得以解决。

  数学构造法是数学论证的基本方法,也是数学发现及应用的重要工具,应用数学构造法来解中学数学题,可以培养学生的创造意识和创新思维,是提高学生的分析问题、解决问题能力的手段之一。

  一、数学构造法的含义

  数学构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点而采取相应的解决办法,其基本方法是:借用一类问题的性质,来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中,若按我们的习惯定式思维去探求解题途径比较困难时,可以启发学生根据题目特点,展开丰富的联想拓宽自己的思维范围,运用构造法来解决问题。

  例1.证明:存在两个无理数x,y使得x是有理数。

  分析:设法构造一个满足问题条件的例子,那么存在性就得到证明。

  我们知道自然对数的底e和ln3(以e为底的对数)都是无理数,令x=e,y=ln3,则eln3=3是有理数,从而命题得证。

  在证明过程中,以问题的已知元素或条件为“元件”,以数学中的某些关系式为“支架”,在思维中构造一种新的“构造物”,这种方法具有普遍意义。

  二、数学构造法的类型

  1.函数构造法

  根据不等式的特征,构造适当的函数,利用一元二次方程的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等来证明不等式称为函数法。函数在中学数学中占有相当大的比重,学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题,同时也达到了训练学生的思维,增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性的目的。

  例2.设a,b,c∈R,求证:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立。

  分析:将不等式左边整理成关于a的二次式,用判别式证明。

  证明:左边整理成关于a的二次式,即

  有些数学题似乎与函数毫不相干,但是根据题目的特点,巧妙地构造一个函数,利用函数的性质就能得到简捷的证明。

  2.方程构造法

  例3.已知a,b,c∈R,且a+2b+3c=6,求证:a2+2b2+3c2≥6。

  分析:依题设可知用代数换元法易证,但如果能消去一个变量,可转为二次函数问题。

  解:由已知得a=6-2b-3c,从而a2+2b2+3c2-6=(6-2b-3c)2+2b2+3c2-6=6[b2+2(c-2)b+(2c2-6c+5)],令f(b)=b2+2(c-2)b+2c2-6c+5

  在解题的过程中,把用到的数学思想和方法介绍给学生,而不是要教会学生解某一道题,也不是为解题而解题,给他们学会一种解题的方法才是最有效的,运用构造方法解题也是这样的,通过讲解一些例题,运用构造法来解题,在探求过程中培养学生的创新能力。

  3.图形构造法

  对于一些题目,可以根据已知条件的结构特点,构造出适合条件的图形,通过图形启发思维,找到简捷的思路。

  总之,构造法解题重在“构造”,可以构造图形、方程、函数,使学生熟悉几何、代数、三角等基本知识技能,并想方设法加以综合利用,这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此,在解题教学时,若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想,则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简洁有效的解题方法,而且还能加强学生对知识的理解,培养思维的灵活性,提高学生分析问题的创新能力。

中学数学构造法的初探

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