借助二次函数衔接初高中数学
二次函数本是初中数学学习的重点和难点，但由于初中教学要求仅限于根据具体的表达式作图、确定函数解析式和理解函数的基本性质等，且受初中学生认知水平的限制，很难从本质上深入理解。而高中教材又没有设计独立的章节引导学生对二次函数的升级学习，教学预期中都认定学生已经对此熟练了。于是，随着函数概念、性质的深入学习，看似熟悉的二次函数，学生却不能很好的借此内化新知识，反而成为高一新生的第一个难路虎。能否顺利消灭这第一个难路虎，决定着高中数学学习的成败和信心。
函数在高中数学的学习中起着主导作用，从函数的核心概念及呈现方式可以发现二次函数在其中扮演着非常重要的角色，很多数学问题因二次函数的介入和转化变得朴实而简单。因此，以二次函数的升级教学为重要切入口，从函数与方程、不等式、数形结合、分类讨论等几个方面做好初高中数学的衔接教学，尤为有效。
一、借助二次函数和一元二次方程的关系衔接函数与方程的思想
二次函数是初中阶段最后一次研究函数的内容，对二次函数与一元二次方程的教学，许多教师感到难以把握，主要原因之一是本节教学内容牵扯到的知识点较多，有大部分学生对旧知识点的掌握本身就不是特别牢固，教师对教学的深浅度不太容易把握；原因之二是本节中运用了各种数学思想方法，都是初中数学中对学生所要培养的重要思想。可以说本节内容是初中代数各种知识与思想的集体展现，是初中代数的一个总结。
本节教学可采取先通过对一次函数与一元一次方程关系的简单回顾，再通过观察二次函数y=x+3x+2的图象与x轴有几个交点，交点的横坐标与一元二次方程x+3x+2=0的根有何关系，进而总结得出一元二次方程ax+bx+c=0，当△=b-4ac时该方程的实数根与对应的二次函数y=ax+bx+c的关系。内容安排看似简单，实际却内涵丰富，需要教师大力挖掘，方能使学生充分掌握，并从中深切体会到其中数学思想与方法运用。怎样才能使学生更好的学好知识领会思想呢？我将从以下几个方面对本节教学进行探讨。
（1）理解概念，抓住实质
使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程根，使一元二次不等式成立的未知数的所有的值是一元二次不等式的解集；利用根的判别式可判断出一元二次方程根的情况，当△=b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，当△=b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当△=b-4ac<0时，方程没有实数根；抛物线与x轴有三种位置关系，即整个抛物线与x轴没有交点，与x轴有一个交点，与x轴有两个交点；抛物线位于x轴上方对应的函数值大于0，抛物线位于x轴下方对应的函数值小于0，抛物线与x轴相交意味着函数值等于0。教学中对这些知识点需要做适当的?拖埃?只有这些基本知识学生理解透了，才容易把握二者的关系。
（2）类比一次函数与一元一次方程关系攻破难点
类比一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解，那么抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，由于抛物线与x轴可能会有两个交点、一个交点或没有交点，那么对应一元二次方程相应的就有两个不相等的实数根、两个相等的实数根或者没有解；类比一次函数位于x轴上方则对应的一元一次不等式大于0，自变量的取值范围就是对应的一元一次不等式的解集，那么抛物线位于x轴上方对应的一元二次不等式大于0，自变量的取值范围就是对应的一元二次不等式的解集，其余类推。类比用一次函数的图象求解一元一次方程的近似解理解用二次函数图象求解一元二次方程的近似解，等等。
二、借助二次函数的图象与性质衔接数形结合思想
对二次函数图象，在初中主要以描点法画出其“精确”图象，但是这种做法缺乏“参数意识”，即系数与图象特征的联系，就是要明确二次函数y=ax+bx+c中确定图象开口大小及方向的参数是什么？以及确定图象位置的参数是什么？学生还要清楚的知道二次函数y=ax+bx+c的图象可以怎样快速的画出，并要理解完成这种过程的依据。对于此过程教师可以用几何画板向学生展示，使学生可以从直观感受上升到理论认知。比如，图象与x轴的交点情况，定义域有限制的图象画法与应用，图象随着参数怎么改变等，这些都是如何将初中二次函数过渡到高中的根本。
例1.若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围
对于该题， 鉴于学生对图象画法的熟悉即可轻而易举解决，如果没有对二次函数图象的“升级”认知过程，自然解题方法就难以确定了。
三、借助二次函数的单调性与最值衔接分类讨论思想
教材是以y=x为对象来学习函数的单调性的。学生从其图象的直观判断就很容易求出某一函数的最值，但教学中往往忽略了让学生对二次函数y=ax+bx+c在区间（-∞，-]及[-，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，特别是结合函数图象的直观性，利用单调性解释函数的最值的意义。
例2.已知函数 ，求f（x）在[0，m]上的最小值。
分析：向这种含有参数又与二次函数的图象和单调性有关的问题就要考察学生有没有深入地了解二次函数的单调性了。让学生独立完成后，并说说理由，今后才可能灵活地运用图象与二次函数有关的一些数学问题。
四、借助判别式和根与系数关系衔接函数与不等式思想
因一元二次方程的根与系数关系在初中新课标中要求不高，常被淡化，但高中数学学习中却经常用到。若不熟练一元二次方程的根与系数关系，这对学生来说学习高中数学就是难上加难了。所以有必要对此作进一步的认识和学习，同时利用二次函数根的个数以及根与系数关系来解决一类几何问题就轻而易举了。这样一来引导学生进一步理解用代数方法解决几何问题的思想，从而使学生对二次函数的认识有一个升华。
纵观整个高中数学内容，二次函数问题的综合性强，因为它与实践阶段的很多知识都可以有机地结合起来。根据我的实习经验和对教材的研读发现它可以与一次函数、反比例函数整合出新的问题，也可以与几何中的圆、三角形、四边形等加以整合，还可以与一元二次方程等知识联系起来，一道题也可能包含以上所有知识。所以，在教学过程中就要求教师有意识地参透这方面的思想。提高二次函数综合问题的解题能力、解题技巧是一个真正的教学难点，只要学生能够把这方面的知识真正掌握了，并且能够做到灵活熟练地运用起来，这将对整个高中数学学习提供强有力的武器。
总之，从思维发展特征看，初中学生正处在以形象思维为主，逐步向经验型的抽象思维过度阶段，而高中学生处于以经验型为主的抽象思维想理论抽象思维过渡阶段。通过对二次函数的深入学习使学生认识到同样的二次函数问题，到了高中就必须从更深层次、更广角度，以更严密的推理、更灵活的方法去分析、解决。
