乐学课堂下基于数学问题解决的一类有效教学模式
一、引言
数学问题是数学课程的心脏，因而解题教学是数学教学的重要环节之一。高中数学教师都会致力于探索数学问题的解题教学，并形成了一些行之有效的教学模式。如一般的习题课教学模式：教师引导、示范――学生依照、模仿――巩固应用、迁移――形成解题能力。再比如试卷分析课，也包含了数学问题的教学环节。同样是问题教学两者处理的模式却大相径庭，这不仅跟教学的目的有关，而且与所处的教学时段的背景有关。但无论是何?r何地数学问题教学都不仅仅为了解决具体的某个数学问题，和对相关数学概念、公式、定理等的重复理解与应用。如果仅局限于此，那么很难想象要通过多少的练习量才能使学生掌握知识及应用的能力。这种采用题海战术，使量变达到质变的方式是有悖新课改理念的。新课程的重要目的之一就是“减负”，如何做到减负这一目的也是当代一线教师和教育专家急需改进和探索的重要道路。只有对学生所遇到的现有问题进行充分利用，要善于挖掘具体数学问题包含的数学本质，传授数学知识体系应用的技能，使学生学会学习，而且能够做到真正意义上快乐的学习，举一反三，螺旋式上升，逐步形成对一类数学问题的解题模式，这是我们的乐学课堂所遵循的理念。为此如何更有效或高效地对数学问题进行分析，并形成行之有效的教学模式是每个数学老师都要思考和探索的问题。
为使学生更有效地学会学习，学会应用数学知识解决数学问题。本人多年来专注于对高中数学解题的摸索与探究，对高中数学问题的解决与问题教学有自己的一些独到的看法，希望能与同僚产生一定的共鸣。
二、实例
（浙江2016年10月学考第7题）在空间中，下列命题正确的是（ ）。
A.经过三个点有且只有一个平面。
B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面。
C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个。
D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个。
问题的解决本身并不难，A项没有指出不共线的三点，所以错误；B项没有说明直线外的一点，所以错误；C项符合条件的平面有0个或无数个，若点在直线上则为0个，若点在直线外，先过该点作出与已知直线平行的直线（唯一），过所作直线（不过已知直线）的任一平面均与已知直线平行。D选项正确。通过问题的解决发现很有必要对“经过一个点的个数问题”进行汇总，探究。于是在教学中引导学生改变命题“经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个”中的直线
师：1.经过一个点且与一条直线垂直的直线有且只有一条；错误，无数条。
2.经过一个点且与一个平面垂直的平面有且只有一个；错误，无数个。
3.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个；错误，0个或无数个。
生：4.经过一个点且与一条直线平行的直线有且只有一条；错误，0条或1条。
5.经过一个点且与一个平面垂直的直线有且只有一条；正确。
6.经过一个点且与一个平面平行的平面有且只有一个；错误，0个或1个。
7.经过一个点且与一个平面平行的直线有且只有一条；错误，0条或无数条。
通过对上述的汇总分析，使学生形成知识的块状结构，通过比较、知识的碰撞、知识概念的进一步辨析，有助于对数学本质的理解，激发学生的进一步思考，打开学生的思维之门，能够促进数学知识的应用与迁移，体现了一种有效教学模式。之后再让学生思考下面四个命题的真假，并说明理由，以此来检测学生有效学习的效率。
命题1：经过一个点且与两条异面直线都平行的直线有且只有一条。
命题2：经过一个点且与两条异面直线都平行的平面有且只有一个。
命题3：经过一个点且与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条。
命题4：经过一个点且与两条异面直线都垂直的平面有且只有一个。
题1：已知点[A（-1，2），B（3，1）]，点[P]为[x]轴上的动点，则[PA+PB]的最小值为____。
题2：已知点[P]是双曲线[C=x24-y25=1]右支上的点，[F]为双曲线的左焦点，点[A（1，4）]，则[PA+PF]的最小值为____。
题3：已知点[P]是抛物线[y2=2x]上的动点，点[P]到准线的距离为[d]，且点[P]在[y]轴上的射影[M]，点[A（72，4）]，则[PA+PM]的最小值是____。
学生分析的大致情况为：（图形如下）
题1：[A]关于x轴对称的点[A'（-1，-2）]，则有[PA+PB=PA'+PB≥A'B=5]，当且仅当[A'，P，B]三点在一直线上时，“=”成立。 题2：记双曲线的右焦点为[F2（3，0）]，则[PA+PF=PA+PF2+2a≥AF2+4=25+4]，当且仅当[A，P，F2]三点在一直线上时，“=”成立。
题3：作[PN]垂直准线于[N]，[F]为抛物线的焦点，则[PA+PM=PA+PN-12=PA+PF-12≥AF-12=92]，当且仅当APF三点在一直线上时，“=”成立。
师：请同学们思考，三个数学问题有什么共同的表现形式（条件，结论），它们的解答上有没有共性（涉及的定理，公式，概念或法则）。请你改变一些条件或编写一道类似的数学问题与同学分享。或进行适当地推广变形。
通过学生的思考，分析，交流，评价总结，抽象，概括出数学问题类所包含的数学概念、公式、定理等基础知识，处理此类问题的数形结合和转化化归思想，并揭示数学问题所涵盖的数学本质，形成相关数学问题的解题模式：已知平面内有两定点[A，B]，点[P]是某曲线上的动点，
①[A，B]位于曲线两侧时，线段[AB]与曲线的交点[P]，使得[PA+PB]最小值为[AB]。
②当[A，B]位于曲线同侧时，直线[AB]与曲线的交点[P]，使得[PA-PB]最大值为[AB]。
并让学生完成下列数学问题，以便检测是否形成相应数学问题的解题能力。
1.[F]是抛物线[y2=2x]的焦点，[P]是抛物线上任一点，[A（3，1）]是定?c，则[PA+PF]的最小值是____。
2.已知点[A]的坐标为[（3，2）]，[F]为抛物线[y2=2x]的焦点，若点[P]在抛物线上移动，当[PA+PF]取得最小值时，则点[P]的坐标是（ ）。
A.[（1，2）] B.[（2，2）] C.[（2，-2）] D.[（3，6）]
3.设[F1，F2]分别是椭圆[x225+y216=1]的左、右焦点，[P]为椭圆上任意点，点[M（6，4）]，则[PM+PF1]的最大值为（ ）。
A.12 B.13 C.14 D.15
4.在直线[l：3x-y-1=0]上求一点[P]，使得[P]到[A（4，1）]和[P（0，4）]的距离之差最大。
三、数学问题解决的有效教学模式
数学的教学模式很多，这种通过对数学问题解决后引导学生进一步思考，加工，以类比，或推广，或延展，或变形，或抽象概况等诸多方式引发的数学教学模式是有效的。至少体现在以下三个方面：
其一，教学模式的内容很贴近学生学习的最近发展区是有效的。内容的出发点是学生刚刚思考过的数学问题，正所谓趁热打铁，在此基础上进行的内容变式，很能形成知识冲突，对学生理解数学知识概念、揭示数学本质是行之有效的。内容的表现形式具有全面性与完善性，有效促进学生形成数学知识结构和思想方法等数学能力。内容的形成方式有助于能带动学生学习的积极性，由于问题之间较高的相似度，使得学生对数学问题的解决充满好奇与信心，有效地提高了学生的数学知识迁移能力。学会公式定理的应用等是有效成果之一。
其二，教学模式的过程全面体现学生使学生成为学习的主体是有效的。过程中学生先完成一个或几个具体数学问题作为热身，然后教师引导学生在原有的数学问题上加以适当的改变，或对几个具体问题进行抽象概况，以及知识方法上共性的探讨。这些开放性的问题起点低，人人都可以参与，各抒己见，又能呈现发散性数学思维，使得学生在数学课堂上是快乐的。过程中要求教师要组织学生活动，提“好”问题，发挥教师主动，将更多的时间空间交给学生自主思考，谈论，阐述，评价。学生在对数学问题进行加工时，是对数学知识理解最好的见证，并对加工后的数学问题进行解决，也是对数学知识迁移最好的落实。各个活动环节注重学生参与，落实新课改教学理念，一定程度上展现乐学课堂教学过程的有效性。
其三，教学模式的结果能使学生学会学习是有效的。结果解决的不仅是某个具体的数学问题，而是一类或相关的问题类问题是有效成果之一。结果中不仅包含了问题类解决所含的数学知识体系和知识应用迁移能力，而且还包含了知识体系及知识应用习得的常用方式――举一反三、抽象概况、归纳类比、转化变形等学习能力。为终身学习打下基础是又一有效成果。
在现有的高中学习规划中，学生的学业压力甚大，不仅在量上面对繁多的课程，要求单位时间内消化更多的知识与方法，而且在数学能力的要求上更甚，如计算能力、语言表述能力，抽象概况能力等思维方法。乐学课堂下基于数学问题解决的教学模式能让学生学会举一反三，避免题海战术，实现减负目标。实例证明这种教学模式很多程度上促进了学生创新思维能力的培养；学生参与度高，课堂气氛活跃，能激发学生对知识产生兴趣，产生积极学习心理倾向，对增强有效教学具有重要作用。
四、感悟与反思
乐学课堂下基于数学问题解决的有效教学模式对教师的要求有以下几点：
第一，教师要多做，学生才能少做。教师要多做题，并及时汇总、分类。不仅要提前知道数学问题所包含的数学知识概念、公式、定理和数学思想方法，而且要善于从数学思想上进行提炼和反思，思考如何使学生掌握形成数学能力。要给学生一杯水，教师自己先要拥有一桶水。只有如此教师才能抓住数学问题的本质和规律，引导学生对数学问题进行加工处理，凌驾于有效教学之上。也只有如此才能实现学生是站在巨人的肩膀上，教师则要勇于做好这个巨人的一部分。也只有如此才能避免题海战术，实现新课改做到减负的目的。
第二，教师要发挥主导作用。有效教学模式关键在于教师精心设计问题或巧妙地引导学生发现问题，调动学生学习的积极性。培养能灵活运用知识，敢于创新勇于探索的学生，而不是只能套用知识，受固有方法的框框约束的死板的人。读书无疑者，须教有疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进。
总之，落实素质教育、培养学生的创新思维，是时代发展的要求，减负是一个系统工程，不是一朝一夕就能完成的工作，但是如果我们的广大教师在数学问题教学中多思考，多专研，注重有效教学，从学生的切实利益出发，多增设学生活动的教学，增强学生学会学习的教学，使得我们的乐学课堂真正意义上让学生能够快乐地学习，能够感受到学习数学的乐趣。路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。正所谓教无定法，教学的模式千万种，无论采用哪一种，关键在于有效。
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