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关于函数极限教学的改革与实践

出处:论文网
时间:2018-11-02

关于函数极限教学的改革与实践

  

  1.函数极限教学的难点所在

  函数极限是讨论函数y=f(x)在自变量x为如下的六种变化趋势下,函数因变量y随着自变量x的变化而变化的规律性.

  函数自变量x的六种变化趋势是:

  1)x→x;2)x→x;3)x→x;4)x→∞;5)x→+∞;6)x→-∞。

  当x是上面六种变化情况的某一种时,若函数的因变量y越来越接近于某一常量A,则我们称当x趋向于某个东西时,f(x)以A为极限.但这是只是描述性定义,而非精确定义.此外,我们还需要考虑x趋向于某个数值时,f(x)以∞,或+∞或-∞为函数极限的定义,因此,讲函数极限时,将有二十四个函数极限的定义,讨论函数极限的概念后,我们还要讲函数极限的相关性质,主要有:(1)极限的唯一性;(2)有界性;(3)保号性.关于这个方面有不少的定理.然而事实上,没有一本教材能全部介绍相关定义并证明相关性质.而学生面对这么多的定义及相关性质证明也往往是一头雾水,所有这些,正是函数极限教学的难点所在,也是多年来高等数学教学中没有解决的一个重要问题.

  2.函数极限教学的探索与实践

  2.1定义的改进

  用“x→w”表示x趋向于x→x;x→x;x→x;x→∞;x→+∞;x→-∞六种情形中的任意一种,简称当x趋向于某个东西,则函数极限的表达式可改为:f(x)=A,这里的A可取∞,或+∞或-∞,从而将二十四个极限情形统一到一个表达式中。当然A为有限值时,称极限存在;A为无穷时,称极限不存在.

  2.2函数极限定义的探索

  2.2.1当A为有限值,即极限存在时,函数极限的定义探索.

  对极限f(x)=A,我们定义为:?坌ε>0,?埚“w”的某个范围,只要x属于“w”的这个范围,就有|f(x)-A|<ε成立,即f(x)∈U(A,ε),则称x→w时,f(x)以常数A为极限,记为f(x)=A.

  例1.f(x)=A可定义为:?坌ε>0,?埚U(x,δ)(δ>0),当x∈U(x,δ)时,就有f(x)∈U(A,ε),则称f(x)=A.

  例2.f(x)=A可定义为:?坌ε>0,?埚(x,x+δ)(δ>0),当x∈(x,x+δ)时,就有f(x)∈U(A,ε),则称f(x)=A.

  例3.f(x)=A可定义为:?坌ε>0,?埚某个范围(M,+∞)(M>0),当x∈(M,+∞)时,就有f(x)∈U(A,ε),则称f(x)=A.

  总之,可将所有有限极限的情况归于一个模式列出,让学生对照比较,找出其共性,从而加深对概念的认识和理解.

  2.2.2x→w时,f(x)以无穷为极限定义的探索.

  有了前面的讨论,我们可给出f(x)=∞或f(x)=+∞或f(x)=-∞的定义:?坌M>0,?埚“w”的某个范围,当x属于“w”的这某个范围时,f(x)属于关于M的某个范围,则称x→w时,f(x)以无穷为极限.

  例4.f(x)=∞可定义为:?坌M>0,?埚U(x,δ)(δ>0),当x∈U(x,δ)时,有f(x)∈(-∞,-M)U(M,+∞),即|f(x)|>M.

  例5.f(x)=+∞可定义为:?坌M>0,?埚M>0,当x∈(-∞,-M)时,有f(x)∈(M,+∞),即f(x)>M.

  我们也可将十八个定义列出让学生比较,并引导学生思考,从而掌握上述十八种定义的精髓.

  3.关于极限性质的教学改革探索

  有了上述改进,关于极限性质,我们也可以根据不同情况将某一性质放在同一地方来讲.

  例如讲极限唯一性,证明当f(x)为有限极限时,则极限是唯一的,可分别将:f(x)=A及f(x)=A极限的唯一性放到一块证明;

  f(x)=A及f(x)=A极限的唯一性也放在一块证明.

  通过其证明过程,学生会发现证明的过程只是稍微改变就可以了.

  在极限性质的教学过程中都可以做类似的处理,通过分析和引导,让学生发现函数极限真正的内涵和本质.例如在局部保号性情况方面:

  对f(x)=A,若A>0与f(x)=A,A>0两种情形中:

  第一个说明在x的某个领域内,即x∈U(x,δ)时,有f(x)>0;

  第二个说明在x足够大时,即x∈(M,+∞)(M>0)时,有f(x)>0.

  通过这种比较,学生会对极限的性质有一个本质的认识,即若A>0,只要x属于一定的范围,则这个范围内的函数值都大于零.

  4.结语

  高等数学的教学改革是当前必须面对的一个重大课题,在中学数学课程改革的背景下,高数教学改革尤为重要.以上是我二十几年来高等数学教学的几点认识,通过教学实践,收到了良好的教学效果。但改革任重道远,我们还需总结经验,克服不足,将改革引向深入.

  

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