在概念形成中培养初中学生数学抽象
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2017）02-0151-01
概念形成是指“从大量的同类事物的不同例证中独立发现，实质是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。[1]”数学抽象是数学核心素养之一[2]，“是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。”[3]学生数学学习的效果在一定程度上受到数学抽象影响[4]。分析其主要原因有，数学具有抽象性这一特性。数学与客观现实有紧密的联系，又与现实世界中的具体事物有一定距离，特别是使用了高度抽象的数学语言，增加了学生对数学学习的难度。因此，数学抽象是学生学好数学的基础。本文立足于初中数学课堂教学，以“乘法（第一课时）”教学设计为例，探索培养初中学生数学抽象。
一、教学目标
1.知识与技能
（1）让学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义；
（2）能够正确进行有理数的乘方运算。
2.过程与方法
（1）在现实生活的情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；
（2）培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力；
（3）经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想。
3.情感、态度与价值观
让学生在经历发现问题，探索规律的过程中体会到数学学习的乐趣，从而培养学生学习数学的主动性和勇于探索的精神，增进学生学好数学的自信心。
二、教学重点、难点
教学重点：有理数乘方的定义，有理数的乘方运算规律。
教学难点：有理数乘方的运算的符号法则；乘方与幂的相互关系。
三、教学过程
1.创设情境，激发兴趣
师：前面我们学习了有理数的乘法运算，在有理数乘法的运算中，有时我们会碰到求几个相同因数的积的情况。
边长为2cm的正方形的面积，怎么表示？棱长为2cm的正方体的体积，怎么表示？
生1：边长为2cm的正方形的面积是 （cm2）；棱长为2cm的正方体的体积是 （cm2）。
师： ， 都是相同因数的乘法，为了简便，我们将它们分别记作 ， 。
【设计意图】在有理数的乘法运算中，我们会碰到多个相同的因数相乘的情况，由于相同因数出现的次数可能较多，书写起来比较麻烦而且容易写重或写漏，读起来也费时费力。从现实生活的情境中让学生体会学习有理数乘方的必要性，激发学生数学学习兴趣。
2.提出问题，探求新知
师：形如 、 、 、 ，就是我们今天学习内容“乘方”。乘方是什么样的运算？
生2：多个相同的因素相乘
师：几个相同的因数 相乘，如何表示？
生3：记作
师：一般地，几个相同的因数 相乘，即 ，记作 。这种求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
师：在 中，底数和指数分别是多少？读作什么？它表示什么？
生4：在 中，底数是9，指数是4， 读作9的4次方，或9的4次幂，它表示4个9相乘，即 。
师：在 中，底数和指数分别是多少？读作什么？它表示什么？
生5： 的底数是-2，指数是4，读作-2的4次方（或-2的4次幂），它表示 。
师：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来。
师： 与 一样吗？
生6： 与 在表示方式是不同的，表示意义也不相同， 表示4个-2相乘， 表示4个2相乘的相反数。
【设计意图】教师列举“乘方”具体实例，引导学生对它们共同本质特征的抽象，形成“乘方”概念。将“乘方”概念与乘法运算建立联系，乘方运算可以转化为几个相同因数的乘法运算，乘方运算是乘法运算的特殊情况。同时，使学生理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义，认识到乘方与幂的相互关系。
3.巩固新知，加深理解
师：乘方如何进行计算？
生8：把乘方运算转化为乘法运算。
师：乘方运算为什么可以转化为乘法运算？
生9：因为 就是 个 相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。
师：在了解了乘方意义，知道乘方是乘法的特殊情况后，我们可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。
例1计算：
（1） （2） （3）
学生讨论：根据有理数乘法运算的符号法则，很容易得到乘方运算的法则。如下，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0。
【设计意图】通过例题的讲解，让学生体会乘方运算是乘法运算的特殊情况，然后通过有理数的乘法符号规律，归纳有理数乘方的符号规律。主要通过例1的分析，引导学生讨论得到：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数的结论，确定有理数乘方的运算的符号。能够正确进行有理数的乘方运算。
4.课堂小结
师：通过这节课的学习谈谈你的收获，你能解决下列问题吗？
（1）乘方是什么样的运算？
（2）乘方如何进行计算？
（学生回答略）
【设计意图】教师不是孤立地对本节课内容进行小结，而是站在整个知识体系的角度归纳小结，引导学生感受数学地整体性，帮助学生理清知识之间的区别和联系。
5.布置作业
（1）必做题：教材第42页练习题1-3
（2）选做题：例题的变式2
【设计意图】作业的布置，充分体现了让不同层次学生在数学上得到不同的发展。
四、教学反思
本节课教师要重视将因数的范围扩充到负有理数的扩充过程，在教学中要结合示意图讲清楚幂、底数、指数的意义和相互关系：乘方是一?N运算，幂是乘方的结果，就如加法是一种运算，和是加法运算的结果一样。同时要通过例题、课堂练习和家庭作业，加强巩固乘方概念和运算法则。
【总评】教师按照学生的认知规律，从最近发展区入手，较好地展现了教师的教学特色。
（1）注重概念形成过程
“乘方”概念形成的基本过程大致是：分析不同实例的各种属性――发现不同实例的类似之处――对相似之处进行抽象――形成概念。“乘方”概念形成过程实质是数学抽象过程，教师在教学过程中引导学生，逐渐培养初中学生数学抽象。
（2）注重学生学习兴趣
本节课以概念产生的数学背景为出发点，建立在解决某些问题的需要的基础上。由难度适当的问题而引起的认知冲突，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴趣，培养初中学生数学抽象。
