分片实验与有限元法
3 使用应变约束的有限元法
方程(4)、(5)是对应变的要求，没有涉及刚体位移，同时应力和应变之间只有一个线性关系，所以，假设应变或应力的有限元法都应满足这两个方程。
方程(4)、(5)表达的是应变与位移之间的关系，它们必然与弹性力学的几何方程：
(8)
有着密切的关系。把几何方程(3.1)写成弱形式：
(9)
、 
、 
为权函数，应用两次格林公式变换上述方程：
(10)
在上式中，单元边界上的 
、 
、 
分别以它们对应的网线函数 
、 
、 
代替：
(11)
如果方程(11)中 
、 
、 
是应力的变分，即满足了齐次的平衡方程：
(12)
则方程(12)变为：
(13)
此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。
方程(11)与(13)便是连续性方程弱形式中的两个典型形式。在方程(11)与(13)中当 
、 
、 
分别取常数，另两个为零时，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片试验的要求。
拟协调元与杂交混合元便是采用方程(11)对应变或应力进行离散，而应力杂交元采用的是(13)式。不同的是应力杂交元与杂交混合元是由假设应力出发，而拟协调元是由假设应变入手。而应力与应变之间的关系只是一个线性变换，如果应力与应变设在同一空间，仅是设应力与设应变的不同是不会影响最终结果的。
从方程(11)与(13)的来源(9)式可以看出，几类单元中的应变（或应力）只在较弱的意义上满足相容方程。因平衡方程与连续性方程是一对对偶的微分方程组，有限元法中已经使用了平衡方程的弱形式—最小势能原理，这里使用了连续性方程的弱形式也许更为合理。可以验证，单元应变满足相容条件的强形式与弱形式对单元的精度一般影响不大。
由以上讨论可见，在有限元分析中选常数作检验函数是保证单元通过分片检验的关键。而这一点在以上提到的三种有限元法中都能自然得到满足。构造三角形单元时，常取面积坐标作为检验函数基，因三个面积坐标之和为1，固在离散每个应变时，检验函数应取遍三个面积坐标，这样便保证了检验函数为常数时式(5)或(6)成立。
精化直接刚度法虽然从设位移出发，但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用。
在方程(4)的两边同时除以单元的面积 
，变为：
(14)
上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式：
(15)
其中 
与文[7]中相一致， 
为结点参数矢量。一般的有限元法得到的应变表达式：
(16)
其单元的平均应变：
(17)
不一定满足式(14)，因此把平均应变进行修正，即换成式(18)中表达的所需形式，修正后的应变阵为：
(18)
这样便保证了单元能够通过分片检验。此外，得到 
时还可使用(6)式，从而得到与式(14)不尽相同的形式。
因此，可以说精化直接刚度法是通过修正单元的平均应变，使其通过分片试验的有限元分析方法。精化直接刚度法实施起来是巧妙而方便的。
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