分片实验与有限元法
4 使用位移约束的有限元法
使用位移约束方程的方式有两种：第一种是位移的广义参数的个数不增加，改变以往的采用结点参数确定各广义参数的方法，广义协调元和双参数法便是采用这种方法；第二种方法是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。
4.1 广义协调元和双参数法
方程(6)、(7)反映了分片检验对位移函数的要求，与其相应的有限元法是广义协调元和双参数法。从(6)、(7)可以看出，若使单元通过分片检验，则应包含条件：
或 
（i=1,…,r） (19)
广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移插值函数在结点处的表达不一定精确，有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接由结点位移表示的，因此在做分片检验时会有一定的误差，即不很准确地通过分片检验。这一点可由文[8]中的算例看出。
对于某些特殊形状的单元来说，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分条件，非必要条件，这一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知，矩形薄板单元不满足 
连续，可以验证它同样不满足(19)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高，其原因是它满足方程(6)和(7)。
4.2 增加位移中的广义参数
可以增加位移函数中的广义参数，通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数，这样得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函数的空间，但它的应用还非常少，其主要原因是计算中涉及求逆运算。目前计算机技术及软件的高速发展，尤其是代数运算软件的出现，这种做法也许会有一些生命力。下面举一个通过这种方法改善单元性能的例子。
在构造三角形单元时，人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折，面积坐标的应用解决了对称性的问题，但Zienkiewicz元（BCIZ元）的性能不佳也是人所共知的。今位移函数的基取完全的三次式，含十个基函数，采用面积坐标可写成如下形式：
(20)
其中 
为Zienkiewicz元的单元位移函数， 
(i=1,2,3)为三个面积坐标，C为待定参数。以下通过C的确定来改善单元的性质。因只有一个待定参数，方程(6)不可能完全得到满足，考虑到对称性将(6)中的前两式相加得到方程：
(21)
 |
 | ||
应用方程(21)可以确定出参数C，其中
由采用结点参数建立的单元边界法线方向转角的线性插值函数来表达。定出C后便可用常规方法得到单元刚度阵。
对边长为0.5的方板做图示两种网格划分，坐标原点在1点，其中图二中5点坐标为(0.2，0.15)，边界结点的位移参数按任意的二次挠度场 
给定，计算5点的挠度及转角，表1列出了Zienkiewicz元和改进的Zienkiewicz元结果。
表1 分片试验
|
2×2交叉网格 |
不规则网格 | |||||
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|
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| |
|
改进前 |
0.030052 |
0.065000 |
0.11000 |
0.017090 |
0.053492 |
0.091089 |
|
改进后 |
0.029375 |
0.065000 |
0.11000 |
0.016666 |
0.051481 |
0.085748 |
|
精确值 |
0.029375 |
0.065000 |
0.11000 |
0.016650 |
0.052000 |
0.086000 |
可以看出改进Zienkiewicz元的性能有很大的改善，以下做一算例。
算例：方板中心受集中力，根据对称性，取板的四分之一，采用交叉网格的计算结果如表2。
表2 BCIZ元改进前后板中心挠度计算 
|
单元网格 |
2×2 |
4×4 |
8×8 |
16×16 |
32×32 |
精确值 | |
|
四边 简支 |
改进前 |
0.01231 |
0.01205 |
0.01199 |
0.01198 |
0.01198 |
0.01160 |
|
改进后 |
0.012566 |
0.01190 |
0.01170 |
0.01163 |
0.01161 | ||
|
四边 固支 |
改进前 |
0.005837 |
0.005825 |
0.005799 |
0.005792 |
0.005791 |
0.005612 |
|
改进后 |
0.006397 |
0.005873 |
0.005699 |
0.005639 |
0.005620 | ||
由算例可以看出改进Zienkiewicz元的收敛性能有了很大的改善，而且单元采用的位移函数不仅具有几何对称性，各结点的挠度和转角值也表达精确。在三次位移函数的单元中，这种单元的位移函数的插值空间得到了进一步改进。
5 总结
通过前面的讨论可以看出，各有限元法与分片试验是密不可分的，它们自觉或不自觉得满足了分片试验的要求。这些有限元法合理的共同原因也许在于它们能通过分片试验。
满足了应变约束条件的有限元法，一般是以损失连续性方程的严格性为代价的，这一点对计算结果一般影响不大，而且往往会改善计算精度，这些有限元法对分片试验的满足十分自然，但有些时候会涉及秩的问题；
使用了位移约束条件的有限元法，以损失位移函数在单元结点的准确程度为代价，换取了单元总体性能的改进，或者改善了位移试函数的插值空间，这类有限元法对在保持位移函数的几何对称性上有些困难。以上两类有限元法都得出了很多属于自己特色的单元。
本文得出的是常应变分片试验的要求，同样可以得出应变或位移在什么情况下，能够通过线性应变的分片试验。如果单元的位移参数较多，位移插值函数已含完全三次多项式，单元片在线性应变情况下也应计算准确，这样才更值得我们增加参数。
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