创新性线性代数课程的教学探究
Abstract： According to the current situation of teaching of linear algebra， the innovative theoretical system is constructed by linear equations as the main line， and each chapter is closely related. As a teaching case，the determinant background and the geometric interpretation of the nature of the determinant are provided，and the Cramer's rule is derived in the way of before and after the echo ， and the computer software is introduced into the case analysis， the determinant chapter has embed cultivation of innovative thinking and innovative ability， the dialectical law from theory to practice to theory is followollowed. in the system of linear algebraic theory.
Key words： systems of Linear Equations；determinant；innovation thinking
中图分类号：G643.0 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）20-0144-04
0 引言
当前，在高校线性代数课程一般只有32个学时，课时相对较少。就线性代数教材来说，缺少概念的产生的实际背景，大部分性质定理都是描述性的，缺少相应的几何解释或公式化的表示，而且更为重要的是例题与习题数据简单、与实际脱节，缺少应用性题目和计算机应用。就教学手段上来讲，都以多媒体课件为主、以板书为辅的教学摸式，其内容上也是对行列式、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等知识点的一些验证，这样的教学手段过于单一，应当把计算机软件引入课堂并处理一些实际问题。但是在实际问题中，往往由于数据偏大，小数位数多，造成笔算极易出错，效率极为低下，所以引进计算机必不可少。从教学效果上看，由于没有相应的几何解释和过多的叙述性语言，学生学起来就显得过于抽象，造成许多学生死记硬背，灵活应用更是无从谈起；由于缺乏知识背景和实际应用，这样枯燥教学内容根本无法激起学生的学习兴趣，更无法培养学生学习的积极性、主动性和创造性。从工科学生学习线性代数目的来看，学生学习就是为专业课程提供线性代数方法，学生非常注重线性代数在本专业的实例应用。
瑞典数学家戈丁（L.Garding）曾言：要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。同时，线性代数又是自然科学和工程技术等各领域的应用工具[1]。随着国家转型时期的发展，社会需要更多的创新性人才，线性代数的应用也会日趋广泛。如何改善线性代数知识架构，并把培养学生的创新思维和提高创新能力融合其中是一个亟待研究课题。
1 构建线性代数的创新体系
创新的本质就是打破固有思维定势，兼收并蓄，形成新的思维发展观[2]。线性代数课程也要适应时代的发展需求，把培养创新人才和提高创新能力与线性代数教学紧密接起来。首先要从线性代数的理论体系加以研究，以改变枯燥的理论为重点，把理论和实践紧密结合起来，从实践中导出线性代数理论，并把理论应用于实践。为此我们在现有的理论体系之下，在尊重历史研究的前提下，以线性方程组为主线，重新调整线性代数理论体系，将其改变为：
《线性代数》研究内容：线性方程组
一、线性方程组解的判断与求法
第一章 行列式―Cramer法则
第二章 矩阵――初等变换、逆与秩
二、线性方程组解的结构
第三章 向量组的线性相关性
――基础解系
三、线性方程组应用
第四章 矩阵对角化
――相似对角化、正交对角化
第五章 二次型
在这个理论体系中，遵从了实践到理论再到实践辩证规律。行列式和矩阵来源于实践，是研究线性方程组的工具，分别用了Cramer法则与初等变换对线性方程组进行判断和求解。为了更好地表示线性方程组的解，从线性相关性理论入手，探讨了极大无关组、基、基础解系，给出线性方程组一般解。最后，利用行列式和矩阵的理论，探讨矩阵相似性并给出其理论应用――矩阵对角化。二次型标准化都是通过线性齐次方程组求解而得到的，不仅仅是线性方程组求解的理论应用，也是将线性代数理论回归到了实践。这样一来，整个线性代数理论体系就不再是相互割裂的，而是通过线性方程组这个主线将线性代数各部分内容有机地紧密地串联起来。
为丰富上述线性代数理论体系，使得内容更加有趣生动，适当增加理论知识产生背景，了解它产生的前因后果，从中发现理论创新点，自觉不自觉地就培养了创新思维。例如，当1850年，西尔维斯特（James Joseph sylvester）在研究的m个方程n个未知量的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”一词后[3]，在1855年，凯莱（Arthur Cayley）将线性方程组写成矩阵形式Am×nx=b。这种表示更简洁明了，是一种思维的创新。而线性方程组的向量组形式x1？琢1+x2？琢2+……+ xn？琢n=b也是一种创新，随着向量组相关性深入研究，以Am×nx=0的基础解系解表示的一般解同样具有简洁和规律性特点。相应地，单纯从解法来说，Gauss-Jordan消元法是更具一般性，它扩大了求解线性方程组范围，方法也更加简单，是Cramer法则的一种创新。 创新可以将具体的规律性的东西概括出一般的抽象的结论；反之，把抽象的东西具体化，使其便于理解和应用，同样也是一种创新。中国当代数学家徐利治说：“无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了。”[4]其实，正是由于线性代数理论有了几何性的描述，才使得线性代数更贴近人们易于接受的范畴，才吸引了大批科研工作者投身于线性代数理论研究之中，致使线性代数在19世纪得到突飞猛进的发展。例如，任一正交变换x′=-xcos？兹+ysin？兹y′=ysin？兹+ycos？兹和二阶正交矩阵建立了―对应关系，而正交变换是旋转x″=xcos？兹-ysin？兹y″=ysin？兹+ycos？兹和反射x′=-x″y′=y″的乘积。故正交矩阵就是旋转与反射对应矩阵的乘积。推而广之，二次型正交标准化就是将二次型通过旋转和反射变换化成标准二次型的过程。
创新不仅仅是理论上推陈出新，更重要的是把这些理论应用到实践中去，在实践中体现它的价值，为实际生活提供线性代数的求解方法，并在实际应用中丰富线性代数理论。像动画的制作、降雨预测、物种群变化、通信加密与解密等都是矩阵应用的具体实例；而经济的投入产出、通路中的流量、多重反应物质摩尔数变化以及物理中的量纲分析都是线性方程组求解实例体现；新药配伍、天气预报监测等实例可用线性相关性理论加以解决。而这些现实实例在引进计算机后，即使再复杂数据也变得轻而易举。应用计算机还可以把某些抽象的概念、定理以绘图甚至动画方式表达出来，达到直观生动的效果。
2 典型章节―行列式（以思路为主）
行列式这一章共分三部分内容：行列式的定义、行列式的性质和行列式的应用。在这一章中，将以实例引入行列式定义，通过定义讨论行列式性质，最后又归结为实例应用，并将计算机应用与实例结合起来。为了凸显章节整体性，从行列式定义的引入到Crammer法则导出都是从同一个实例出发，做到了前后呼应。为了突出线性代数理论的整体性和可读性，在行列式这部分内容最后，从研讨Crammer法则局限性入手，探讨并引出了后续章节的研究内容，这种启发式的探讨不仅仅是一种思维的创新，同时这种探讨还串联了线性代数的各部分内容，使其更加紧凑完整。
3 结论
在现有教材体系下，提出以线性方程组为主线创新性理论体系，使得整个线性代数理论更加紧密地联系在一起，并且从总体到各章节都遵从从实践到理论再到实践的过程。并以行列式为典型案例，从线性方程组求解实例背景出发引出定义，由定义推出性质和定理，然后再把具体理论应用到最为经典的投入产出实例中，并用计算机软件简化计算，其间还融合了部分性质的几何意义。这些做法增加了对行列式认识的趣味性、直观性和应用性，这不仅仅理论体系结构的创新，同时也把创新思维融合到理论的形成与推导过程中，这都有利于创新性思维和创新能力的培养。
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