“简易逻辑”教学中存在的问题——兼答《关于命题的困惑》一文中的“困惑”
出处：论文网
时间：2006-05-14
逻辑联结词“非”相当于集合在全集中的补集．假定p与“非p”的结论所确立的集合分别是A、B，则A、B必须满足A∪B=U（全集），A∩B=Ф．“非p”的结论必须包含p的结论的所有对立面．这一点如果不注意，使用反证法证题时就可能发生错误．因为反证法的理论依据是欲证p为真，可证“非p”为假，如果“非p”不包括p的所有对立面，反证法就站不住脚了．
例6 p：方程x２－5x＋6＝0有两个相等的实根．写出“非p”．（与例4相同）
正像写一个集合的补集必须先搞清全集一样，这个题目也面临类似的问题．因为实系数一元二次方程的解的情况有三种，任何一种的否定都应该包含另外的两种，所以p的对立面是“方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有两个不相等的实根或无实根”．但“非p”不能这样写，而写成等价形式：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0没有两个相等的实根．
3．4 “非p”必须使用否定词语
写“非p”时还要注意，必须使用否定词语对正面叙述的词语进行否定．
例7 p：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有实根．写出“非p”．
错解：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有虚根．
尽管“虚”是对“实”的否定，但“虚”不是否定词，“方程ｘ２－5ｘ＋6＝0有虚根”仍是简单命题，正确答案为：方程ｘ２－5ｘ＋6＝0无实根．
4 给定一个复合命题，写出构成它的简单命题时应注意的问题
例8 指出构成下列复合命题的简单命题：
（1）实数的平方是正数或0；
（2）4的平方根是2或-2；
（3）方程（ｘ－1）（ｘ－2）＝0的根为1或2；
（4）四边相等且四个角相等的四边形是正方形.
解：（1）p：实数的平方可能是正数；
q：实数的平方可能是0．
注：因为实数的平方只有正数或0两种情况，所以由p、q构成的“p或q”中，“可能”一词就可省略而成为“实数的平方是正数或0”，文［1］中认为它是简单命题，这种认识是错误的．同样，后三个小题的答案为：
（2）p：4的平方根可能是2；
q：4的平方根可能是-2?
（3）p：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是1；
q：方程（x-1）（x-2）=0的一个根是2．
（4）p：四边相等的四边形可能是正方形；
q：四个角相等的四边形可能是正方形．
在由p、q写“p或q”、“p且q”时，有些词语可以省略，反过来由“p或q”、“p且q”写p、q时，省略的词语必须补上．而由“非p”写p时，必须先搞清“非p”的条件和结论．
结束语：命题的结构问题是很复杂的，中学只研究结构简单的命题，本文的一些观点只是笔者的一点教学体会，不当之处，欢迎同行专家指正．
参考文献
1 关于命题的困惑，中学数学教学参考，2002，1～2合期
2 能力培养与测试，高一数学第一册（上）?北京：人民教育出版社
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