数学概念教学的思考
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014） 28-0104-06
一、教学设计、课堂实录
1. 教学内容。北师大版《义务教育教育教科书?数学》八年级上册第七章平行线的证明第2节定义与命题第一课时。
2. 内容解读。本节课是在学习了为什么要证明的基础上进行的，学生在感受到了生活中证明的必要性后就要学习证明的方法和依据，而定义就是证明的基本依据，而且通过定义和命题能体会到许多的判断“可以证明”，也为下一步的“怎样证明”做好铺垫。同时，本节课是一节概念性的课，是下一步进行规范证明的起点，为培养学生的观察能力、逻辑思维能力、归纳演绎能力和创新应用能力打下基础。
3. 教学目标。
（1）从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性。
（2）从具体实例中，了解命题的概念和结构特征，并会区分真、假命题。
（3）通过从具体举例中提炼数学概念，体会数学与实际生活的联系，感受数学来源于生活，并服务于生活。
4.教学重点。
命题的概念。
5.教学难点。
命题的结构特征及真假命题的判断。
6.教学过程。
（1）创设情境、引入新课。
教师：大家好，很高兴能有机会和大家一起参加本次活动，作为东道主，希望同学们能用良好的表现，向全省各地的专家、老师展示我们的风采，有没有信心？
学生：有。（声音不是太响亮）
教师：看来同学们还是有点紧张。没关系，下面我们先来放松一下：（课件展示幻灯片2――赵本山的小品：“昨天、今天、明天”的视频内容） （约1分钟）
设计意图：通过小品中的“包袱”让学生放松心情的同时又能直观感受对名称、术语不同认识所产生的差异，激发学生的学习兴趣，唤起他们的好奇心与求知欲；同时还可以体现定义对于生活的重要性。
（学生观看视频，并有笑声。）
教师：大家感觉到好笑的原因是什么？秋波是那样解释的吗？
学生：秋波不是这样解释的。
学生：不是，解释是错误的。
教师：我们的艺术家通过对“秋波”的一个完全不同的认识达到了逗大家笑的目的。其实生活中这样是事情非常多，对同一名称、术语不同的认识就可能产生误会、笑话，有时也对我们的交流产生障碍，而要避免这样的问题，就需要我们对同一名称、术语有相同的认识，那你能说一下怎样认识下面的术语吗？（课件展示幻灯片3）
（学生口答内容，并互相补充。）
（教师在学生回答的同时展示正确的解释。）
设计意图：在小品的基础上对常见名称、术语进行准确的解释，为引入“定义”做了充足的铺垫。
点评：本环节通过创设轻松诙谐的小品这一特定情境，引出“秋波”一词，一方面缓解了刚开始时紧张的课堂气氛，另一方面，利用“秋波”这一熟悉的名词，给出另类的解释，让学生既觉得可笑，又有所期待，为下面“定义”的引出作下铺垫。
（2） 自主交流、合作探究。
【合作探究一】定义的概念：
教师：同学们说的不错，那大家想一下，我们在描述名称或术语的含义时，最重要的是什么？
（学生思考并给出不同的回答。）
教师：下面我们来举个例子，现在请我们班“聪明”的同学站起来。
教师：（稍等一会发现没有同学站起）看来同学们都很谦虚，没关系，你不好意思夸自己聪明，那你能告诉我其他同学谁聪明吗？
学生：还是没有答案。
教师：怎么还没答案呢？
学生：不好说。
教师：为什么？
学生：不好确定。
教师：看来我们同学找到原因了，我们不好确定哪些同学是“聪明”人的原因是：我们不知道聪明的标准。实际上我们有时做不到是因为我们对它的描述不准确、不清晰。因此我们对名称、术语的描述要清晰准确。（课件展示幻灯片4）同时板书课题――7.2定义。
设计意图：通过对“聪明”的定义让学生体会下定义时清晰、准确的必要性，更好理解定义的概念和要求。
教师：我们举几个例子来看一下。（课件动画展示）
试一试：
教师：你能说一说学过哪些定义？（课件展示幻灯片5）
（学生分小组举例回答。）
教师：我给大家两个定义。（动画展示线段、三角形及其定义）你还能再举几个例子吗？
（学生思考并回答，没有主动举手的）。
教师：看来学的越多，越不好想，那就由我来给大家举几个例子，请同学们来说一说它们的定义。
学生：……
教师：原来我们不知不觉中学了这么多的定义，对于这么多的定义你到底掌握的怎么样呢？我们来考察一下。 （课件展示幻灯片6）
（学生结合所学知识给出答案并相互完善，同时利用动画效果逐个展示相关的定义。）
设计意图：在例题的基础上理解定义，同时通过学生的合作探究进一步体会、理解定义，让学生充分地参与到知识的探究过程中，真正地让学生成为知识探究、生成过程中的主体。 想一想：
教师：看来同学们对定义的认识比较深刻，我们学习了这么多的定义，那么请大家思考一下：我们学习定义有什么意义呢？
（学生先思考，然后小组交流。）
（教师根据学生的回答，及时引导学生总结定义的意义。）
师生总结学习定义的必要性：
（1）定义是严密的表述，可以规范我们对事或物的认识。
（2）定义是证明的重要依据。比如依据“垂直”的定义，可以得出两条直线所成的角90°，反过来如果两条直线相交构成的角中有90°的角，我们就可以判定这两条直线互相垂直。
设计意图：通过对学习定义的必要性这一问题的提出和分析进行探究，让学生在已有的直接经验和间接经验的基础上认识学习的意义，培养学生归纳总结的能力。
点评：教师巧设“聪明”一词，充分调动学生参与的积极性，同时也切实体会下“定义”时清晰、准确的必要性，自然得出什么是“定义”，接着教师示范典型的“定义”样式，鼓励学生回顾已学过的一些定义，加深对“定义”的理解，最后师生共同总结学习“定义”的意义，教师的语言幽默，学生主动参与的积极性高涨。
【合作探究二】命题的概念：
教师：当然，生活的需要判断的事非常多，我们也经常会做出判断，比如……（课件展示幻灯片7）
教师：这三句话对两条线段的长短做出了判定吗？
学生：做出了判定。
教师：好，下面我们再来看几个句子。（课件展示幻灯片8）
（学生小组内讨论并回答。）
教师：学生回答后课件展示结果并与学生总结给出命题的定义：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。（动画展示同时板书课题――7.2定义与命题）
教师：我们发现：（1）（3）（6）（7）都做出了判断，它们都是命题，而（2）（4）（5）没有做出判断，所以它们不是命题。
设计意图：从学生对命题的认识的实际情况和例题出发，引导学生通过思考、探索、交流获得数学的基础知识和基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。
教师：我们知道了命题的定义，下面我们就来检验一下，看看同学们是不是真的理解了。（课件展示幻灯片9）
（学生回答并总结分析。）
教师：同学们的判断都非常准确，那么你认为判断一个句子是不是命题的关键是什么？
学生：看是否做出了判断。
（教师在学生回答的同时展示：“特别关注――是不是命题的关键是：是否做出了判断。”）
设计意图：本环节中通过练习，强化学生对知识的理解，同时培养学生对知识的应用意识。对是不是命题的关键的思考，调动学生参与教学的同时，深化对知识的理解，同时又培养了学生的归纳总结的能力。
教师：我们找到了判断是不是命题的关键，就抓住了命题的本质，不过作为命题来讲，既然我们要对一件事或物要做出判断，那么肯定要在一定的条件下进行，而且还要得到一个结论。（通过语速的快慢和停顿，引导学生说出“条件”和“结论”。）比如：两直线平行，同位角相等。（动画展示）引导学生分析命题的结构特征。
教师：通过分析我们很清晰地看到，每个命题都有条件和结论两部分构成，那就请同学们参照上面的特征说出下列命题的条件和结论。（课件展示幻灯片11）
（学生小组内讨论、分析并给出答案。）
（教师在学生解答的过程中利用动画效果逐步分析：“对顶角相等”这一命题的条件和结论。同时将“对顶角相等”转化为“如果……那么……”的形式。）（课件展示幻灯片12）
教师：对顶角相等判断的结果是什么？
学生：相等。（动画展示）
教师：谁相等？
学生：角相等。（动画展示）
教师：几个角？一个？
学生：两个角。 （动画展示）
教师：两个什么角？
学生：对顶角。（动画展示）
教师：句子的转化感觉有点别扭，怎么办？
学生：可以补充完整。 （动画展示）
教师：很好，我们补充完整将这句话改写为：如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等。（动画展示）
教师：你能找到这个命题的条件和结论吗？
学生：（口答）条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等。
注意：在上述的过程中，师生问答的过程中，利用动画效果逐步展示清晰体现命题结构的分析过程。
设计意图：在对命题有一定理解的基础上，利用课件的动画效果直观的分析、展示命题的结构特征。同时通过问题作为引导，注重启发学生积极思考，从而调动学生的思维活动，让学生参与到知识的生成过程中，在学会结论的同时，清晰地感受学习的过程，让学生成为学习过程的主体。
教师：你能用这种方法将第（4）个命题转化成“如果……那么……”的形式吗？
（学生动手写成转化的结果，并分析命题的结构特征。同时教师课件动画效果展示分析过程。）
教师：这样分析后同学们能不能清晰地理解命题的结构特征呢？
学生：能。
教师：将命题改写成什么样的结果可以清晰体现命题的条件和结论。
学生：写成“如果……那么……。
教师：这样行不行呢？我们来验证一下。（课件展示幻灯片13）
（学生思考、交流并回答。）
教师：看来同学们对命题的结构特征掌握的非常好准确，只要你能将其写成“如果……那么……”的形式，就能准确地找到对应的条件和结论。
设计意图：练习的设置让对命题的结构特征有更好地认识，在理解的基础上，学会应用知识进行分析和解决问题，强化了学生应用意识的培养。 点评：教师没有直接给出“命题”的定义，而是通过引导学生观察和判断一系列问题，直观感知有些语句“作出了判断”，而有些语句“没有作出判断”，从而得出了“命题”的定义。接着教师抓住命题需要“作出判断”，从而自然引出“判断需要条件”，“判断后定能得出一结论”，让学生对“条件”、“结论”的认识水到渠成。最后，通过层层递进的设问，让学生在答疑的同时体会了寻找“条件、结论”的方法，这样的师生互动紧张而又激情四射。
【合作探究三】真、假命题的概念：
教师：我们找到了条件和结论，那么同学们考虑一下，基于条件得到的结论是不是正确呢？
学生：不一定。（思考后交流、回答）
教师：也就是说，我们做出的判断可能是正确的，也可能是错误的。你能结合这4个命题说一下吗？
注意：引导学生分析错误的判断，并用举反例的方法说明命题是错误的。同时结合命题（2）、（4）强调列举的反例要做到：符合命题的条件，但是得到的结论与命题不相同。
设计意图：在巩固命题结构特征的基础上，发现命题中的判断有正确的，有错误的，从而为下面的“真、假命题”做好铺垫。
教师：据此可知，一个命题有正确和不正确的之分。（课件展示幻灯片14）
教师：提出问题：怎样判断命题的真假？
学生：思考并讨论。
学生：可以举一个反例来证明。（动画展示）
教师：我们总结的方法对不对呢？下面就让我们来试一试。（课件展示幻灯片15）
（学生思考后回答问题并说明理由。）
（教师在学生回答的同时动画展示答案，同时强调可以通过举反例的方法说明一个命题是错误的是假命题。）
设计意图：练习的设置使得学生学习知识的环节趋于完整，掌握知识的同时，强调对知识的灵活运用。
点评：既然是人为判断，就难免有错误，自然引出命题的真与假，“真的”不言而喻，“假的”可以借助“举反例”来证明。
（3）归纳总结、拓展升华。
教师：学完了真假命题，我们这节课的内容也就学完了，请同学们思考一下本节课我们都学习了哪些内容，快速地总结一下，并与同学们分享你的收获。（课件展示幻灯片16）
（学生总结学过的内容并交流、展示。）
（教师在学生展示后，适当地总结并通过动画展示。1.定义；2.命题；3.真、假命题。）
教师：我们除了掌握知识之外我们还要知道我们学习的作用和意义：
定义让我们对事、物有相同的认识，减少误解，方便交流。因此，下定义让我们的世界规范、和谐。
通过命题可以不断地由已知的条件推导、探究未知的结论。因此，提命题让我们的社会发展、进步。
设计意图：教师鼓励学生结合本节课的学习畅所欲言地谈论自己的感受和收获，对知识形成较好的归纳，使之系统化，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识。
点评：归纳简洁明了，与时俱进。
（4）当堂检测，评价反馈。
教师：我们的学习有这么重要的作用，那么就要求同学们准确地掌握所学的知识，并且能灵活地运用，你能不能做到呢？我们来检测一下。（课件依次展示幻灯片17～21）
1.请给下列图形命名，并给出名称的定义：
2.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？
（1） 1+2≠3
（2）三角形的三条高交于一点；
（3）在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗？
（4）两点之间线段最短。
3.下列命题中真命题的是（ ）
（A）从“1、2、3、4、5、6”六个数中任选一个数，是偶数的概率为0.4
（B）若a与b互为相反数，则a+b=0
（C）绝对值等于它本身的数是正数
（D）任何一个角都比它的补角小
4.下图表示某地的一个灌溉系统。如果C地水流被污染，那么_________的水流也被污染。
根据上图，你还能说出其他的命题吗？
设计意图：针对本节课的重点，有目的地设计习题，以检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识，发现与弥补遗漏；同时可以让学生全面了解自己的学习过程，感受自己的成长和进步，同时促进学生对学习及时进行反思，为教师全面了解学生的学习状况，改进教学，实施因材施教提供重要依据。
能力提升：在数学运算中，除了加、减、乘、除等运算外，还可以定义新的运算。如定义一种“星”运算，“*”是它的运算符号，其运算法则是：a*b=（a+b）×（a-b）于是：
5*3=（5+3）×（5-3）=16
3*5=（3+5）×（3-5）=-16
5*3*3=16*3=247
按以上定义，填空：2*3=_；2*3*5=_ 。
2.对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列六个论断：
（1） a∥b； （2） b∥c； （3） a⊥b；
（4） a∥c； （5） a⊥c ； （6） b⊥c.
以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题（至少写出3个）。
设计意图：在基础性检测练习的基础上设置这两个题目，检验学生灵活应用知识的同时培养学生的应用意识和创新意识。挖掘学生的潜能，让学生做到真正的学习，而不是简单的模仿。
点评：以典型习题检测本节课学生是否达标，既巩固了新知，又对学生作出了适时的评价，满足不同层次的学生发展的需求，问题中再现“问题”，便于学生查缺补漏。
（5）布置作业，落实基础。 课本：167页，第2题，第3题。
（6）板书设计：
7. 教学设计说明。
本节课通过情境引入、问题驱动的方法组织教学，不断地通过问题引导学生的思维活动，同时突出学生的“探索”，将观察、思考等活动贯穿于教学活动的始终，在教学过程中立足让学生自己去探索、分析归纳、合作交流。同时本节课借助多媒体演示，加强了教学的直观性，丰富学生的想象力，提高了学生主动参与的意识。
二、教后反思
本节课通过生活中的“笑话”作为切入点引入定义，并强调定义要准确这一原则，然后不断地在学生已有的知识经验的基础上，通过问题作为引导，启发学生的思维，让学生通过不断地解决问题的过程探索新的知识，从而促进学生不断的获得新的发展。
在教学的过程中利用小组内的交流展示活动，充分调动学生的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意识，又培养了学生观察、分析问题并进行总结归纳的能力。
三、课例点评
本节课的设计充分考虑本阶段学生数学学习的特点，利用实际问题作为切入点，不断地在学生已有的知识经验的基础上进行分析、探究，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引导学生的数学思考，同时，利用实际问题的解决体现学习数学的根本目的：服务生活。
总评：本节课以学生的认知水平和已有的生活经验为基础，以学生感兴趣的“小品”为突破口，激发了学生的好奇心，接着巧设“聪明”一词，让“定义”必须“准确、清晰”引起大家共鸣。整节课通过质疑、解疑过程，最大限度地给予学生自主探索的时间和空间，通过生生合作、师生合作，充分调动其积极性，凡是学生能自己探索得出的，决不替代，凡是学生能独立思考的，决不暗示。鼓励学生大胆阐述自己的观点，努力创设一个民主、平等、和谐的课堂氛围。
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