浅议新课标下数学开放题的类型及例析
前苏联学者奥加涅认为，数学题由题目的条件、解题根据、解题的方法、题目的结论这四个要素组成，按题目中已知要素的多少可分为四种类型：标准性题（已知四个要素），训练性题（已知三个要素），探索性题（已知两个要素），问题性题（已知一个要素）.开放题属于探索性题或问题性题.开放题最初只有结论开放一类，现已发展成为结论开放、条件开放、设计开放和问题本身开放等几大类.对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类：如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题.
从开放题答案的开口情况出发，定量地可分成三类：弱开放题――答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题――答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题――只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题.
对开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以辅助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性.
一、结论开放型
这类问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散性思维和所学基础知识的应用能力.这类开放题是指提供一定的条件，可以是不仅满足条件，而且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种.
1.同题异果型
例1：180÷12=□÷□=□÷□=……你能写出多少个？
通过训练加深学生对商不变性质的理解和运用.
例2：1999年上海市高考数学试卷第12题（见前第3页），学生可以根据自己的空间想象能力，可以设五条边为1，一条边为2；或五条2一条1；也可以两条1四条2等多种组合，但同时又要考虑能否组成空间四面体，且不是组成正四面体，所以要先画对图，然后选择合适的方法进行计算体积.
2.异题同果型
例3：甲乙两艘军舰同时从相距948千米的两个港口对开.甲艘军舰每小时行38千米，乙艘军舰每小时行41千米.（1）几小时后两艘军舰相遇？（2）甲艘军舰开出几小时后两艘军舰相遇？（3）乙艘军舰开出几小时后两艘军舰相遇？
这题的条件一样，但问题是从三个不同的角度分别提出的，其题意、计算结果相同.加强这种开放题型的训练，有利于深化理解掌握行程问题的解法.下面的这道题也是异题同果型.
例4：试指出下列两个代数式的共同点：24a■bc■和18a■b■x■.
我们大家熟悉的两个学生相距多远的问题.1994年荷兰数学教育学派的代表人物，德朗治（deLange）在上海做报告中有这样一个题目：“如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A、B相距几千米？”这一题目似乎是一道小学算术题.事实上，它的内涵很丰富，涉及从自然数相加，有理数加减，圆的几何轨迹，点的距离，以至圆的参数表示，复数相减等许多数学知识.题目可适合各种层次的学生，可以考虑一直线的情况，可以作为平面计算，也可以在空间测量，留给学生的空间很大.
二、条件开放型
这类考题是给定结论反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一.这类题常以基本知识为背景加以设计而成的，主要考查学生的基础知识的掌握程度和归纳能力.
例5：1998年高考数学全国卷第18题（见前第3页），就是一道典型的条件开放题.
例6：若二次函数f■（x）=a■x■+b■x+c■和f■（x）=a■x+b■x+c■使得f■（x）+f■（x）是（-∞，+∞）上单调递增函数，试给出一组满足上述要求的f■（x）=-f■（x）的函数式.
例7：（1）写出一个解集是{x？摇？摇x=2kπ+■，k∈Z}的三角方程.
（2）已知m
学生习惯解各种类型的三角方程或不等式，但是要自己写一个满足要求的方程或不等式，往往比较困难，只要逆向思维、发散思维就会想出不少.
条件开放题是根据题中所给的结论、要求，从不同的角度寻找获得解决这个结论的条件，按寻找条件的类型又可分为以下几种：
1.补充条件型
例8：甲车间？摇？摇 ？摇乙车间？摇 ？摇？摇，丙车间？摇 ？摇？摇，请问三个车间共有工人多少人？（在整数范围内根据问题补充条件后解答）
该题要补充的条件全部开放.要求学生展开联想，发散思维，提出各种不同的可以解决问题的条件，当然也就不会有确定的答案.
2.选择条件型
例9：计算图形的面积（单位：米）.要求学生选择图形中相关的数据，算出它的面积.（图略）
3.多余条件型
例10：学校图书室有文艺书720本，科技书480本.如果把这些书全部放在书架上，平均每个书架放60本，需要这样的书架多少个？
题中已知条件“文艺书720本”是多余条件.这样，将有用条件和无用条件混杂在一起，形成干扰因素，让学生根据题意进行分析选择. 4.隐藏条件型
例11：某条公路两天修完成.第一天修的比总长的2/3多2千米，正好相当于第二天修的4倍.这条公路原长多少米？
该题表面上看来似乎条件不足，但其所需的条件隐藏在题意之中，以致学生解题的失误或无从下手.
三、操作开放题
该类题是比较好的数学开放题形式，充分体现了“让学生在做中学”的数学观念，促进了学生动手操作实践能力的提高.
例12：拿几张长方形纸，分别折叠出它的1/8，你能折叠出几种不同的图形吗？
学生通过折叠，加深对分数意义及“平均分”概念的理解.
四、策略开放题
此类开放题分常规策略开放题和非常规策略开放题两类.
1.常规策略开放题
指运用所学的知识，根据问题的条件分析、推理、判断得到的途径、手段可能是多种的，这些不同的途径、手段就是不同的解题策略.
（1）手段开放型
例13：教学“三角形内角和性质”时，为找出这一性质，可采取开放结果的手段组织教学.①让学生分别量出每一个三角形的三个内角度数，并求出它们的和.再引导推测验证性质.②让学生把一张长方形纸沿着一条对角线剪成两个直角三角形.根据长方形四个角的度数和求出每个直角三角形的内角和性质.
（2）途径开放题
平时提倡的“一题多解”属于途径开放型内容.
例14：除了通分外，你还能想出其他方法比较4/7和5/11的大小吗？
此题可以采取以下两种不同的解题途径：①把4/7和5/11化成和原来分数相等、分子相同的分数，然后比较它们大小；②因为4个1/7（4/7）比3.5个1/7（1/2）大，而5个1/11比5.5个1/11（1/2）小，由此推理判断4/7大于5/11.
此类开放题目的在于拓宽学生解题思路，培养学生思维的灵活性和创造性.
2.非常规策略开放题
除了运用常规策略开放题外，还应紧密联系实际，超越常规解题思路、方法，让学生学会多角度解决问题.
例15：一条麻袋装大米100千克，现有440千克大米，需要几条麻袋才能装完？
计算结果是4.4条，但不能用常规的“四舍五入”法取4条.因为使用4条麻袋不可能装完，要用“进一法”使用5条才能装完.
五、综合开放题
某一数学问题，若题目的条件、解题策略或结论中有两项以上不确定，则为综合开放题.综合开放题可以是同学科的，也可以是跨学科的.
例16：用一根14厘米的铁丝，可以围成几种形状不同且长和宽都是整厘米数的长方形.并分别求出围成的各长方形的面积.
这道题也可以看做是操作性开放题.题中要求所围的长方形的长和宽数据，学生要根据条件自己寻找假设，难度较大，但对创新精神和实践能力的培养极有益处.
开放题的题型并没有固定的标准，应当具体问题具体分析.同一个问题你可以根据教学内容要求划定类型，不要拘泥僵化.值得一提的是，数学开放题的设计，应力求以课程标准、教材为依据，以学生的知识实际为出发点，以学生可接受性为尺度.要从心理近体原则出发，符合认知近体、时间近体、空间近体，体现实用，重视运用，突出灵活，把握梯度.教师应认真进行教学设计.为了配合开放题的教学，教学手段和方法要开放，这样才能促使学生学习状态的开放.
六、设计开放型
这类题目要求学生运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究，考查学生的探究能力.
例17：初中数学教学的一道开放题：“有一块长方形的场地，现要在其中建造一些花坛，使得花坛的总面积恰好为原场地的一半，试尽量美观而准确地做好设计.”这道题将艺术、数学巧妙地结合起来，发人深省.
例18：“五石子问题”：甲、乙、丙三人任意掷五粒石子，投出的石子离散程度最小者为优，试给出判断这五粒石子离散程度的准则.
这个问题的关键是如何确定“散度”，但题目并没有给出什么叫“散度”，要求学生通过想象用数值表示这个“散度”.通常的方法有：①任意两点所连线段之中最长者；②连接各点所成直线形的面积之中最大者；③各点间连线长度之和中最长者；④含五点的圆的半径之最小者，等等.
这道题不需要很深奥的理论及专门的知识，却又不是简单可以回答的.其答案似乎很多，又很容易得到，但要得到真正好的准则，也不是容易的.
七、问题本身开放型
为了培养学生的创新能力，应当联系社会生活的实际，开发一些研究性课题，对学生进行训练，适应新的形势.研究型课题本身就具有开放性.比如存贷款问题、交通问题、环境保护问题，等等.
例19：上海市新编数学教材《统计初步》中有一例，1990年人口普查时，上海共有4065274个家庭户，总人口数12589650，于是计算得家庭平均人口数为12589650/4065274≈3.10（人）.用同样的计算，可算得1982年人口普查时，上海市家庭平均人口数为3.60人.于是得到了上海市的“家庭规模正在缩小”的结论.
如果按传统的教法，几乎没有新的知识点，学生就很可能只学到平均数的计算公式，而没有学到统计的思想和方法.让学生自己回答这个问题，会陆续碰到许多问题，如（1）家庭规模怎么刻画？用财产数？住房大小？家庭人口数？（2）一家一户的家庭规模确定之后，上海市总的家庭规模怎么刻画？（3）要统计全上海的家庭工作量太大，是否可以少统计一些？如果可以，应该统计哪些家庭？这些家庭的统计结果能否代表上海市的情况？……这些问题实际上已涉及了教师要教的基本内容：总体、样本、指标、统计量、平均数等.由于它们是学生自己提出来的，因此学生研究的积极性和责任心就特别强，这是学习成功的非常重要的非智力因素. 生活永远是数学问题不枯竭的源泉.关注现实世界中的问题，特别是学生身边的或可理解的实际问题，可使学生有一种亲近感和解题欲望.
例20：上海现行的出租车收费标准是：当路程不超过3千米但不超过10千米时，超过部分的单价2元/千米（不足1千米按1千米计算）；当路程超过10千米时，超过部分的单价为3元/千米（不足1千米按1千米计算），夜23点至第二天凌晨5点加收30%.请讨论利用中途换乘出租车的方法，可以节省费用的可能性.
如果我们对这一点有明晰的、开放式的认识，就会发现在自己熟知的日常生活中有许许多多这样的事例。确实，生活是孕育智慧的摇篮，作为一个开放型的中学数学教师就应当善于将生活请进课堂，丰富课堂，使学生能够学有所思，学有所用，使教与学放得更开，从而真正培养学生的开放性思维.
例21：甲、乙、丙三位学生在这学期中的三次数学测验成绩如下：
要比较这三个学生的成绩好坏，让学生根据实际的需要和自己的理解，分析数据并得出结论.其实你可以设计更复杂的表格，通过不同层次的比较，提高学生的发散思维能力.
例22：美国中学数学教材在刚引入统计知识时有这样一道题：W.W.公司有15名员工，他们的工资如下表所示，请你按下时要求作答：
（1）求年薪的平均数；（2）求年薪的中位数；（3）假设报纸上报道“W.W.公司的员工年薪平均水平为32000（美元）”，是否会使大部分员工感到不真实？
学生很容易算出平均数和中位数分别为32000和21000.但我们体会到，本例题强调的不是平均数和中位数的算法，而是想通过第（3）的讨论让学生弄清楚平均数和中位数作用，且通过对这两个统计量的比较，认识到它们的局限性.
