材料力学课程中内力计算的教学方法探讨
材料力学主要是研究处于平衡状态的工程构件的内力、变形和失效规律，提出保证杆件具有足够的强度、刚度和稳定性的设计方法和设计准则。构件内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。可见内力计算在材料力学课程中占有相等重要的地位。材料力学中内力计算主要是计算杆件的轴力、扭矩、剪力和弯矩，是比较容易掌握的内容。但是，本人在教学过程中发现始终有学生对内力的概念是模糊的，在计算内力时总会出现一些问题。最常见的问题是：（1）概念模糊；（2）内力计算不正确；（3）不清楚内力正负号的含义。针对这些问题，在讲授杆件内力这部分内容时主要从以下几个方面进行教学，效果良好。
1 重点强调内力的概念和特点
内力是指由外力作用所引起的物体内部的互相作用力。内力的特点：（1）内力随外力的变化而变化；（2）内力是截面上的内力系向截面形心简化后得到的主矢和主矩；（3）内力成对出现，且相互平衡。在教学过程中，要使学生理解内力的概念，掌握内力的要点：（1）内力是物体内部的相互作用力；（2）内力随外力而变化；（3）内力是截面上内力系合成的结果，是一个力或一个力偶；（4）内力的正负号代只反映力的方向，不具代数大小的含义。
2 内力计算的基本方法
截面法是内力计算的基本方法，其计算步骤为：
①截开。在所求内力的截面处，假想地沿截面将构件截成两部分。
②代替。任取其中一部分作为计算对象，在被截开的截面上用内力代表另一部分对该部分的作用力，画出这部分的受力图。
③平衡。根据受力图建立平衡方程，计算出该截面上的内力。
用截面法计算内力，无论取哪部分来计算，其结果都一样。
在教学过程中，首先要求学生必须理解内力的含义，掌握内力计算的基本方法即截面法，熟练地按照截面法的三步骤计算内力。在此基础上，归纳出计算内力的规律。下面以例说明内力计算的教学方法。
图1 截面法求指定截面m上的轴力
例：求图1（a）所示轴向拉压杆截面m的轴力。
解：按截面法的三步骤计算。
①截开。沿截面m假想将杆件截成左右两段。
②代替。取右段分析，绘其受力图如图1（b）。轴力FN代表左段杆件对右段杆件在m截面上的作用力。
③平衡。根据受力图列平衡方程：
FN-P-4P=0 （1）解得FN=P+4P=5P
若取左段分析，用FN’代替右段杆件对左段杆件在m截面上的作用力。显然FN与FN’是一对作用力和反作用力。根据如图1（c）所示的左段杆受力图列平衡方程
FN'-8P-2P+5P=0 （2）解得FN'=5P。
可见，无论取哪一段来计算，均可得出m截面上的轴力为拉力，大小为5P。
对于图2所示的轴n截面上的扭矩T，用截面法取右段列平衡方程
T+4Me-Me=0 （3）得到T=-3Me
若取左段列平衡方程
T+2Me+Me=0 （4）得到T'=-3Me
同样地，无论取哪一段来计算，均可得出相同的计算结果。因此，在具体计算内力时，只需取受力最简单的一段来计算。
图2 截面法求指定截面n上的扭矩
3 由截面法引生出内力计算的规则，简化计算过程
3.1 轴力的计算规则
用截面法计算时需要画出受力图，然后再列出平衡方程，根据平衡方程求得结果。这个计算过程相对还是比较繁琐，那么，能否不用画受力图，只需根据杆件上的外力就可以直接计算出任一截面上的内力呢？我们引导学生对平衡方程进行分析，以期找出计算内力的规律。式（1）表示的平衡方程可写成：FN=P+4P= P =5P，不难看出m截面上的轴力实际上就等于m以右杆件段上各荷载的代数和。若取左段分析，式（2）表示的平衡方程可写成 ：FN'=2P-5P+8P= P =5P，实际上FN'就等于m以左杆件段上各荷载的代数和。因此，根据平衡方程可以总结出来求轴力的规律。即任意截面上的轴力FN等于该截面一侧（左侧或右侧）杆件上外力Pi的代数和。用公式表示为FN= P 或FN= P 。
同一个外力对于不同的截面所产生的作用效果可能不同，对某一截面而言是拉力，但对另一截面可能又变成了压力。因此，在用上式计算轴力时，一些学生不清楚外力正负号如何取，容易将外力符号搞错。对此在教学时就要强调轴力正负号的规定，轴力为拉力时取正号，为压力时取负号，即拉为正压为负。外力对计算轴力的截面而言为拉力，那么在该截面上产生的轴力必然也是拉力，这时，外力符号取正号。简便的判断外力的正负号的方法就是：外力的箭头离开该截面为正，指向该截面为负。这样一来，学生就不会弄错外力正负号了。根据这一计算规律，无需绘受力图就可以计算任一截面的轴力。
3.2 扭矩的计算规则
对于式（3）表示的右段轴的平衡方程可写成：T=-4Me+Me= M =-3Me。
式（4）表示的左段轴的平衡方程可写成：T'=T=-2Me-Me= M =-3Me。
因此，也可以总结出来与计算轴力类似的计算扭矩的规律，即任意截面上的扭矩T等于该截面一侧（左侧或右侧）杆件上外力偶矩Mei的代数和。用公式表示为T= M 或T= M 。
外力偶矩Mei的正负号：按右手螺旋法则，大拇指尖离开该截面为正，指向该截面为负。 3.3 剪力、弯矩的计算规则
同样地，也可以总结出来计算梁的内力――剪力和弯矩的规律。即：
（1）任意截面上的剪力FS等于该截面一侧（左侧或右侧）杆件上在平行于剪力方向上的外力Pi的代数和。即FS= P 或FS= P
外力Pi的正负号按左段向上右段向下取正号，相反取负号确定。
（2）任意截面上的弯矩M等于该截面一侧（左侧或右侧）杆件上外力（包括外力偶）对该截面形心之矩的代数和。即M= M 或M= M 。
外力矩或外力偶矩正负符号按左段梁上的外力对截面形心的力矩是顺时针转动取正号，逆时针转动取负号；右段梁上外力对截面形心的力矩是逆时针转动取正号，顺时针转动取负号。即左顺右逆为正，反之为负。根据弯矩正负号的规定，还可以总结出：对于水平梁凡是向上的外力对任意截面均产生正的弯矩。下面就以图3（a）所示的梁为例来说明按梁的内力计算规则计算C截面上的剪力和弯矩。
首先计算出梁的支座反力，并将其标注于图中，如图3（b）所示。
再计算C截面的剪力和弯矩。由于C截面上有集中力偶作用，其弯矩将发生突变，因此需分别计算无限靠近C截面的左右两侧截面的剪力和弯矩。
按剪力、弯矩的计算规律，取C截面以左的梁段计算得：
FSC左= P =11-8×2=-5kN
MC左= M =11×2-8×2×1=6kN?m
FSC右= P =11-8×2=-5kN
MC右= M =11×2-8×2×1+4=10kN?m
也可以取C截面以右的梁段来计算，同样得到：
FSC左=FSC右= P =-5kN
MC左= M =5×2-4=-6kN?m
MC右= M =5×2=10kN?m
显然，取左段和取右段得出的结果一致。在计算时要观察梁上的受力情况，再确定取哪一段来计算，可以使计算过程更简单。
图3 计算梁的剪力和弯矩
4 结语
从上面的分析过程可以看出，利用截面法得出的内力计算规则来计算杆件任意截面上的内力，非常简便，不需要画内力图，只需根据杆件上的外力就可以快速得出计算结果。用这种方法计算内力，学生容易掌握，计算速度快且不容易出错。因此在教学过程中，着重训练学生采用这些规则来计算内力，取得了良好的教学效果。
