发散思维在微积分教学中的运用
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）04（c）-0171-01
在当今的大学里，微积分的教学几乎已经进入了一切专业的课堂，其作为基础素质课的地位越来越高，而微积分在教学上的困难，却并不因为其重要性和地位的加强而有所改善，多年来，许多数学教师在实践的基础上做出了很多改革的尝试，比如将数学建模的思想与方法融入数学课程的教学中，这虽然增强了课程的实用性和应用性，但是由于学生的数学基础不均衡和理解力差别的因素，课堂教学效果仍不是太理想，本文试图从发散思维的角度来指导微积分的教学，以点到面的选取教学素材，从一点进行发散，深入思考，提出各种不同的问题，使学生参与课堂教学，充分调动学生学习的积极性，让学生对所学课题理解更加透彻，使课堂教学更为有效。
发散思维又称“扩散思维”或“求异思维”，它是指从事物的某一中心或定点出发，多路扩展，四面散射，展开联想，提出多种设想并沿着各种不同的途径去思考，探求多种合乎条件答案的思维。因此，它具有求异性与发散性，是创造性思维的一种重要方式。从宏观的角度看，在微积分的学习中，最重要的是抓住一条主线：函数―― 极限―― 导数（微分）―― 积分。对每一块内容，需要我们通过发散思维的方式串联起其具体内容及理清各知识点之间的关联，如极限的学习是在理解概念的基础上，围绕如何求极限展开，学完这章之后应学会将求极限的方法加以总结与归纳，归纳时发散程度越广，效果就越好。其它章节可类似使用发散思维进行学习或复习。
在具体的微积分教学中，教师应该充分利用课题素材，运用发散思维的手段，培养学生多角度思考问题、进退互化和选择最优的三种能力，为以后参加工作打下良好的创新思维基础。（1）多角度思考问题的能力。在一个数学问题中尽可能多地提出较多设想、多种解决问题途径与多种有价值的答案。向多方位、多角度进行思考，解决问题时要善于另辟新径，以期殊途同归，这能提升我们思维的流畅度，能使我们迅速理解知识的内涵，拓宽现有的思维方式。如数学教学中的一式多变、一题多问、一题多解、一题多变等训练都是为了提升多角度思考问题的能力。又如在讲解第二个重要极限的应用时，引入连续复利问题，可进一步考虑房屋的抵押按揭贷款模型，引导学生从商业贷款，公积金贷款及组合贷款的三种不同利率的条件下，从等额本金，等额本息的角度计算出各种贷款情形下的还款情况，让学生自主多角度的探索不限于房贷的各种贷款模式，知其然也知其所以然，也可以写成小论文加以总结和归纳，相互交流，这不仅能提升学生学习的兴趣，学以致用，为以后工作中的银行贷款提供更有效的指导，更加能提高课堂教学效果，达到学好微积分的目的，为后续学习相应的专业课打好坚实的数学基础。（2）进退互化的能力。通常一个问题是由多种因素及其相互关系决定的，如果改变其中某一因素，或改变因素之间的位置、地位、联想方式，常常可以产生新的想法和思路。将问题进行进退互化能提高思维的变通性。数学中的变量代换、几何问题代数化与代数问题几何化、几何变换等都属于这个范畴。对命题而言，可以改变命题的条件或结论；也可以减弱条件，加强结论；或予以特殊化、一般化；还可以进行类比、推广等，如在讲解微分中值定理时，可以引导学生思考当条件改变为函数不连续或函数不可导或改变区间的开闭性质时，结论是否成立，如果不成立，试举反例说明，这样学习有利于加深学生对定理的理解。又如在讲解用导数的方法求一元函数的最值时，提出具体问题：已知三角形的周长为定值，求其面积的最大值。利用求最值的方法不难得出结果，按进退互化的特点，我们可作出另一些猜测，如：这三角形的面积有最小值吗？若四边形的周长为定值时，它的面积有最大值吗？若封闭平面曲线的周长为定值时，它的面积有最大值吗？我们也可以突破二维空间的约束因素，提出问题：直平行六面体各棱长之和为定值时，它的体积有最大值吗？四面体的各棱长之和为定值时，它的体积有最大值吗？表面积一定时，凸几何体体积有最大值吗？还可以逆向思考问题：若三角形面积为定值时，它的周长有最小值吗？若四面体体积为定值时，它的各棱长之和有最小值吗？等等。（3）选择最优的能力，即要求千方百计寻求最优答案以及探索最佳解决问题的途径，方法要独特，内容要新颖与简洁。数学史上许多重大发现正是实现选择最优的能力的体现。数学教学中寻找简便证法（如：勾股定理的证明等）、反常规解法以及独特解法的训练正是为培养选择最优的解决问题的能力。如在微积分的教学中，可以充分发动学生的智慧，对极限，导数和积分计算及具体的应用问题，进行一题多解和多题一解的探索，比较得出最优解决问题的方案，这不仅能使学生将各种公式与解题方法融汇贯通，灵活运用，而且有利于学生养成勤于动脑和积极探索，从多种角度去思考问题并解决问题的良好习惯，它能帮助学生在参加工作后提升工作效率。
总之，发散思维能够使我们串联起更多的思路与方法，使我们既快又优的提出问题和解决问题。实际上，数学学习往往会由于“思维定式”的强烈作用，使我们总是在一个固有的思维框架中挣扎，而发散思维的运用，则能使我们摆脱思维定式。因此，在具体的微积分的教学中，要鼓励学生多使用发散思维方法，这不仅可以提升记忆力与理解力，使学习更为牢固，而且可以培养学生的创造力，避免“思维定式”，使微积分的学习显得更加的生动有趣。
