多米诺骨牌与数学归纳法
中图分类号：O1 文献标识码：A
在中学数学中，一般学生不难运用数学归纳法的两个步骤来证明相关题型。但数学归纳法的基本思想很多学生却一知半解。比如数学归纳法用来解决什么问题；用数学归纳法证明题的两个步骤是怎么得出来的；为什么只要证明了这两个步骤就证明了命题对一切自然数都成立。这些问题很多学生都是摸摸糊糊的，而多诺米骨牌游戏可以帮助我们认识这些问题。
（1）数学归纳法是一种由特殊到一般的推理方法。是人们在认识客观世界的时候经常采用的方法，具体指考查和研究一些特殊的和个别的事物，在获得对这些事物认识的基础上总结和抽象出一般的结论的一种方法。数学归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。不完全归纳法主要考查若干个具体实例然后由此得出结论，如例1：
例1三角形内角和为180?浚?-2）??0??
四边形内角和为360?浚?-2）??0??
五边形内角和为560?浚?-2）??0??
六边形内角和为720?浚?-2）??0?。?
从而归纳得出n边形的内角和是（n-2）??0??
不难看出，不完全归纳法的结论不一定正确。例如，学生试卷中，如果几份试卷都及格，就认为全班都及格，显然这个结论不可靠，要逐个审阅才能得出正确的结论，所以例1的结论也不一定正确。
（2）完全归纳法是对所有对象都作了考查才得出结论。所以要用完全归纳法才能得出正确的结论。以下将举例说明完全归纳法的步骤。
当考查的对象是有限个时，只需一一验证。
当考查的对象是无限个时，我们不能一一考查，我们将用什么方法来实现完全归纳法呢？应用数学归纳法可以通过有限的方法来解决无限的问题。
例2考查f（n）=1+3+5+7+…+（2n-1）
当n=1时，得f（1）=1=12
当n=2时，得f（2）=1+3=4=22
当n=3时，得f（3）=1+3+5=9=32
当n=4时，得f（4）=1+3+5+7=16=42
……
当n=100时，得f（100）=1+3+5+7+9……+199=10000=1002
猜想：对任意的自然数都有
1+3+5+7+9+……（2n-1）=n2
就此，我们只能对上面的结论作猜想，因为自然数的无穷性，我们无论计算多少次都不能肯定结论的正确性，而我们也不可能对自然数一一考查。
著名的多米诺骨牌游戏，将许多牌立成一列，现在要把它们推倒。因为有许多许多（无穷多），将它一个一个地推是无法办到的。我们只需要推倒第一张牌，然后由第一张牌推第二张牌，再由第二张牌推第三张牌，由第三张牌推第四张牌，……由此下去，所有的牌就推倒了。显然要推倒所有的牌必须满足二个条件，第一，人为地推倒第一张牌，第二，必须前一张牌能推倒后一张牌。
考查对于所有自然数的命题成立与否也可以用这个方法。
如对于例2，证明对一切自然数
f（n）=1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n2
证明：当n=1时，f（1）=12命题成立
相当于推倒第一张牌，这是基础。
由n=1命题成立n=1+1=2时命题成立，相当于由第一张牌推倒第二张牌。
由n=2命题成立n=2+1时命题成立，相当于由第二张牌推倒第三张牌。
由n=3命题成立n=3+1时命题成立，相当于由第三张牌推倒第四张牌。
……
以上第二个步骤可由一个类推式子表示。
当n=k命题成立n=k+1时命题成立（k∈N），就是由前一张牌推后一张牌的过程，这是一个类推过程，当k取遍一切自然数时，命题即对一切自然数都成立。
所以对此题，假设n=k，对等式成立（k∈N），即从1开始连续k个奇数和等于其项数k的平方，即是1+3+5+……+（2k-1）=k2
当n=k+1时
1+3+5+7+9……+（2k-1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2
此即当n=k+1时等式也成立。所以当k取遍一切自然数时，可得对任何自然数n等式成立。
由此我们顺利地得到数学归纳法的两个步骤：
①当n取第一个值时，n=1（或n=2）时命题成立。
②假设n=k（k∈N）命题成立n=k+1时命题成立。
第二个步骤表示第一个值后面的所有自然数，命题都成立。第二个步骤的实质解决了从有限到无限的问题。
应该指出没有第一个步骤，第二个步骤的类推是空中楼阁，而只有第一个步骤，没有第二个步骤无论验证多少个值，都只能是不完全归纳，不能得到最后的正确结论。
还应该指出，数学归纳法证明一般来说应当是关于自然数的命题，但并不是任何涉及自然数的命题的正确性都一定要用数学归纳法去证明。有些问题如果可以通过直接计算去证明就不用数学归纳法了，例如等式（n+1）（n-1）=n？-1对于一切自然数成立，只要通过计算就可以由左边推到右边，而对于那些无法直接计算又必须由小到大顺序计算的式子，通常就要用数学归纳法了
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