例谈分式方程的增根与无解教学
在八年级数学分式这一章，解分式方程中会出现增根的现象而导致分式方程无解，因此解分式方程时必须检验。而同学们在做相关的练习题时，有时会遇到无解，有时会遇到增根，那么无解与增根到底有怎样的区别呢？近几年随着考试难度的降低，这一知识点逐渐淡化出很多人的视线。总体上说分式方程的增根和分式方程分无解是两个不同的概念。
一、概念的意义不同
分式方程的增根是指解分式方程时，在去分母的过程中，方程两边都乘以了一个可以使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值。它是化简后整式方程的根，但不是分式方程的根，所以分式方程求解中的检验必不可少。分式方程的无解是无论未知数取何值，都不能使方程左右两边的值相等。它包含着两种情况：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而使原方程无解.现举例说明如下。
二、分式方程有增根
三、分式方程无解
1.无解=增根
很多同学受思维定式的影响，会认为只要x的值是原分式方程的增根，原分式方程无解。事实上原分式方程无解分两种情况讨论。①分母=0使分式方程无解；②化简后的整式方程无解，使分式方程无解。
如：把原方程去分母得m-3=x-1
对于这道题而言化简后的整式方程m-3=x-1即x=m-2永远有解，所以无解和有增根求得的未知数的值是一样的。
只需把增根x=1代入m-3=x-1中得m=3
我们顺利地解决了这道题，接下来看下面的例子。
2.无解≠增根
分析：从两方面考虑分式方程无解的条件是：①去分母后所得整式方程无解，即（a-1）x=a无解。
对于这个含字母系数的整式方程（a-1）x=a，当a-1=0时，即a=1会出现0x=1的情况，此时方程无解。即无论x取何值，此时都不存在未知数的值使分式方程的左边=右边，我们说分式方程无解。
此时我们要注意不能求出一种情况就认为自己已经找到了正确答案，此时还要考虑第②种情况：分式方程有增根，即当x=0时方程无解，并求出参数a的值为0。
这告诉我们两点：①当方程中出现无解时要特别小心；②当化简后的整式方程未知数的系数含有字母时，更应小心。一定要特别留心未知数的系数是否含有字母，若未知数的系数含有字母时，我们一定要小心。
所以增根与无解既有联系又有区别，考虑问题须全面缜密。方程无解要比方程有增根考虑的情况要多，参数取得值也多。当然这种情况只限于参数做了未知数的系数。否则取得的值就和上面前两个例子一样了。
