故事数学:数学教学的有效资源
中图分类号：G424.1 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）07A-0102-05
作为衡量一个人学习能力的重要学科――数学，从小学到高中到大学，大多数学生对它情有独钟，投入了大量的时间与精力，然而并非人人都是成功者。在现实生活中，我们看到的是许多人害怕数学，远离数学，据统计，有38%的中小学生害怕数学。有的学生讨厌数学到了想放弃的地步，其实这绝不应该是数学自身的原因。有好多数学家早年曾被认为没有数学天赋，却在数学上有了成就，这说明也不是学生的天赋问题。显然，是我们的数学教学出了问题。
如何教好数学？方法有很多，但一定绕不开让学生喜欢数学这一理想路径和价值追求。反观现实，我们的数学教学就是讲题、做题、教学内容就是公式、定理，课堂气氛严肃而沉闷，思维难以活跃，学习难以深入，学生极易产生乏味感，特别是理科思维不好的学生，对它更是有一种畏惧感。数学故事是学生学习数学的有效课程资源，是点燃学生心灵的兴趣之火，通过数学故事进行故事数学教学不失为一种让学生喜欢数学、学好数学的良方。
一、“故事数学”的意蕴
“数学故事”是以现实生活为基础，以数学课本内容为依据，以数字、运算、计量、代数、几何、统计与概率、逻辑与推理等方面为主要内容的故事。所谓“故事数学”，即通过数学故事进行数学的教与学，是师生阅读、讲解、演绎发生在数学史上的、发生在数学家身上的、发生在教师和学生身边的故事，进而激发学生的数学兴趣，学习数学知识、培养数学能力、感悟数学思想、提高数学素养和道德品质的数学教学。“故事数学”是一种手段、一种路径、一种方法，是用来进行数学教与学的资源、方法等一切关系的总和。
二、 “故事数学”的缘由
（一）理论探析
1.兴趣观
兴趣是指一个人力求认识某种事物或从事某种活动的心理倾向。学习兴趣是学生对学习活动或学习对象的一种积极认识或趋近的意识倾向。它是一种学习动机，是学习中最现实、最活跃的心理成分。当学生对某种学科发生兴趣时，会心情愉快地学习，积极主动地获取知识，否则，就会感到学习是一种负担。
数学作为一门研究数量关系和空间形式的学科，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。因此，在中学数学的学习中，学生有畏惧心理的现象非常普遍。但是如果一个学生对数学感兴趣，就可能激励他积累各种数学知识，研究各种数学现象，为将来研究和从事数学方面的工作打基础;就会促使他刻苦钻研，并且进行创造性的思维，这样不仅会使他的学习成绩大大提高，而且会大大地改善学习方法，提高学习效率。[1]
事实上，在数千年的历史中，与数学有关的无数故事纷纷上演，许许多多的美好事物蕴含在这些故事之中。数学并不只是由一些赤条条的定律组成的，数学也不只是由一些干瘪的公式构造的，数学有无数美好的故事，有深厚丰富的内涵。运用故事进行数学教学，会使更多的学生喜欢数学。
2.课程观
后现代主义课程观主张“三S”教育，即强调以科学（science）、精神（spirit）和故事（story）为基本内容的教育。数学是科学，数学由人的精神孕育出来，数学的历史是由无数的数学故事编织而成的，“三S”教育对于数学教育有较高的指导性和契合性，可能是最适合的。事实上，在实践中我们发现那些数学教育教学效果好的教师，在很大程度上都是会讲故事的教师。[2]
在数学里，有美不胜收的故事;在故事里，有美不胜收的数学。现实生活中，诸多的经典故事，异彩纷呈，妙趣横生，耐人寻味。其中，有些故事本身也蕴含着丰富的数学思想内涵。面对如此的“故事金矿”，我们如何利用？关键在于教师，关键在于教师如何在以抽象思维为主的数学学科和学生的知识基础之间搭建故事的桥梁。
（二）实践探索
“故事数学”在实际教育教学中真的很有效吗？表现如下：
1.可以激趣
1777年的一天，著名的数学家布丰忽发奇想，把许多宾朋邀请到家中，做了一个令人惊奇的试验，他把事先画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一半的小针，请客人把小针一根一根地随便地扔在纸上，而他则在一旁专注观察并记着数，投完后统一计数为：共投2212次，其中与任意平行线相交的有704次，布丰又做了一个简单的除法，2212÷704=3.142然后宣布：“这就是圆周率的近似值”，所有的宾朋都惊呆了，这简直是不可思议！这就是著名的布丰投针试验。以这样的故事来开启概率学习的篇章，学生的求知欲一下子就被调动起来。
2.可以增知
将数学知识融于故事中，利用故事的鲜明特性，可以使学生在轻松愉快的氛围中，在审美与理性分析的过程中，在思维碰撞的过程中内化新知，能使学生的智慧绽放出七彩的光芒，给学生的思维插上一对想象的翅膀。在数学故事的讲授中，教师带领学生体会概念的自然产生过程，知晓课本上定义的来源，激发学生的学习动机，使学生对于数学知识能“知其然”又能“知其所以然”，加深学生对概念的理解，并让学生获得数学探究的美好体验。以“无理数”为例，关于无理数的发现，有这样的一个故事，传说中，希尔索斯发现正方形对角线与边长为不可公度量，即两者的长度之比不能表达为整数之比，从而否定了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”说，动摇了毕氏学派的哲学根基，因而被抛进大海处死。有的教师这样告诉学生：希尔索斯因为发现无理数而失去生命，此事太没有道理，所以它发现的那类数叫无理数。这个故事也许牵强附会，但是不影响学生对无理数的学习，其实像这样的例子很多。比如“小数”是很小的数吗？“虚数”是虚无缥缈的数吗？“函数”是数吗？为什么称未知数为“元”？每个问题的背后都有许多故事，每个故事本身都蕴含着或多或少的数学知识。[3] 3.可以启思
故事可以激起学生的求知欲，更能带动学生的思考探索。高中数学等差数列的前n项和公式的推导，完全可以以高斯从1加到100的算法的故事中来予以启发，引导，触类旁通。“首末相加法”的数学方法，一经点破，学生会觉得实在简单，朴素中见高雅，更觉可贵。
4.可以励志
叙述数学家的困难、挫折和失败，能使学生获得真知灼见和探究问题的勇气，并且不因失败而气馁。美国数学家米勒断言，清晰地揭示历史上著名数学家的挫折与失败，比介绍他们的成功更能让学生获益。“哥德巴赫猜想”引无数数学爱好者“竞折腰”，历史上，这样的故事很多，无不让人产生心灵的震撼。
5.可以悟美
故事还可以传递美感。欧拉的故事有很多，欧拉公式eiπ+1=0是一个真正的经典。公式看上去一目了然，实际上却深奥得难以置信。它包括五个最重要的数字常数――0（加法恒等元）、1（乘法恒等元）、e和π（两个最具代表性的超越数）以及i（虚数单位）。另外公式还包括两个最基本的算术运算――加法和次方。性质如此不同，出现的时间相距又那样遥远，这样的5个数却和谐处于一个式子之中，能够给人一种距离美、统一美、和谐美的感觉，并且还能使学生从一个大跨度的历史中看到数学的壮阔美。
6.可以激发爱国情怀
在人类几千年的历史中，我国的数学家做出了许多突出的贡献，如祖冲之的圆周率、杨辉三角等南宋数学家秦九韶发现的新的算法“大衍求一术”比欧洲数学王子高斯的解法早了500年，齐梁时代的数学家祖冲之的儿子祖??（公元5世纪）早就提出的“幂势既同，则积不容异”的祖??原理，而1653年才有西方意大利数学家卡瓦列利提出相同的定理。通过这些历史典故，学生可以充分了解到中国古代数学对世界数学发展的贡献，从而增强民族自豪感。[4]
7.可以树立辩证史观
数学教学的德育核心是培养学生的辩证唯物主义观点，数学中的正与负、数和形、直与曲、常数与变量、有限与无限等反映了既对立又统一的辩证思想。数学第二次危机的故事让人陷入无限沉思：牛顿在求出导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式，从中减去以求得增量，并除以0以求出增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾规律的方法――先设x有增量，又让其为0，也即假设x没有增量。他论述了无穷小dx既等于零又不等于零，这是荒谬之论。这就是贝克莱悖论，微积分由此变得“神秘莫测”。无穷小的分析是否合理这个问题引发了数学第二次危机。对这个悖论的解释归根到底是人们对变量及有限和无限的认识上的缺憾。通过这个故事，我们就能把辩证唯物主义思想的根深深地扎在学生的心中。概率、频率的故事教学使学生感知偶然中蕴涵着必然，体现了变与不变的辩证关系;随机变量的故事，体现了动与静的辩证统一，诸如此类，看似单一的数学故事，却是对学生进行辨证史观教育的良好素材。[5]
三、做“故事数学”的热情实践者
做个有故事的数学教师，进行一种故事数学式的教学，是一个别开生面、效果独特的尝试，也更应是教师们实践中的应然追求。
（一）在适切的时机植入故事
进行故事数学教学并不意味着整个课堂都需要，也不意味着每一节课都要运用，应根据具体教学内容，教学具体情况等巧妙安排，以确保是否需要，效果最优。
1.课前植入，引人入胜
新一章的学习，通过故事引入，学生就会兴趣盎然，从而积极去查找资料，探寻其中的奥秘。在极限教学之前，笔者演绎了这样一个故事：先在黑板列出了这样一个问题：1与0.9谁大谁小？许多同学都以为0.9<1，在学生们经历一番讨论而倍感困惑时笔者又给出一个题目：你能在0.9与1之间插入一个数吗？学生们更是跃跃欲试，可就是无所适从，最后笔者又给出第三道题目：在■=0.3两边同时乘以3会得到什么样的结果？学生的学习情绪一发不可收。以这样的问题故事来开启概率学习的篇章，长此以往，学生怎么可能不喜爱数学？
2.课中运用，妙趣横生
有效的故事情境比精心设计的游戏导入更能调动学生的积极性，更能让学生从一开始就进入最佳的学习状态。如在“等量代换”的课始，教师可以选用“曹冲称象”的故事，通过故事引发学生进行观察、发现和思考：曹冲是怎么称象的？为什么他能够称出又高又大的大象的重量？选取一个好的故事开端，可能就是一节课成功的一半。[6]
我们还可以利用故事的无意注意的特性，将故事穿插于数学教学之中。这有利于解除学生对数字的枯燥感和解题的烦躁感，使课堂充满生命的活力。复习组合的内容之后、学习排列之前，笔者编了这样一个故事：“有一个干部在某年个人小结时是这样写的：‘存在问题――好喝酒;分析原因――酒好喝;总结经验――喝酒好;整改措施――酒喝好;努力方向――喝好酒’”。笔者将‘好、喝、酒’三个字进行不同的组合得到不同的含义和意境，说明排列和组合之间不同的意蕴，学生的兴趣顿时高涨，所学内容迅速吸收。
心理学研究表明，下课前的5分钟左右，注意力较易分散，此时数学故事能再度唤起学生主动学习的热情。让学生在故事中巩固新知，使学生产生意犹未尽的感觉。在“简易逻辑”复习课的最后，学生对“‘存在性’的否定”还是不太清楚，于是笔者适时讲述了“马克?吐温”的故事：美国作家马克?吐温对美国有些议员的做法深感不满，于是在一家报刊上写了一篇抨击的文章，文章的题目是“有些议员是狗娘养的！”，这个标题在美国引起轩然大波，议员们纷纷要求马克?吐温必须在同样的报纸，同样的位置，作出全面的否定，否则……于是，马克?吐温最终“屈服”了――不得不在同样的报纸，同样的位置，做了道歉，文章的题目是“有些议员不是狗娘养的！”。学生听后哈哈大笑，在笑声中悟出了“‘存在性’的否定”的涵义。
3.课外运用，回味无穷
2002年8月，世界数学大会在北京召开。3000多位世界第一流的数学家，聚在这诞生过张衡与祖冲之的国度，谈笑、交流、与公众对话，在这次大会的活动中，陈省身教授为大小观众们题词，都是四个字：“数学好玩”。其实数学原本就不是枯燥的符号，它与现实生活紧密联系，并为人们的生活和实践活动服务。在数学教学中，我们要走出教材，走出教室，融进生活，融进活动。“故事数学”更多地实施在课外，教师在培养学生的计算和解题能力时，往往布置大量的重复的习题，久而久之，学生会对数学产生反感。试想把枯燥无味的作业改用看故事、编故事的形式来完成，学生肯定不会把作业看成负担，而看成是一种乐趣。这样学生不仅学得主动，且学得轻松、愉快。作业的形式应是多样的，它可以是找数学故事，编数学故事，还可以把数学故事写进数学日记、数学小论文，编进数学小报等，让数学回复它的本来面目，学生就会惊讶于它的美丽、它的神奇莫测、它的包罗万象、它的“好玩”。 （二）在适切的地方寻找故事
1.从数学史中寻找
现行的数学教材包含着丰富的故事，如高中数学教材章节后面的“探究?拓展”、“链接”、“阅读”等部分中都有，如苏格兰数学家纳皮尔的对数发明、艺术家的透视法、斐波那契数列、向量源自力学、法国数学家布丰的投针试验以及中国古代数学中秦九昭的“三斜求积”、韩信点兵、田忌赛马、勾股定理、杨辉三角、鸡兔同笼、刘徽割圆等等成果相继进入高中数学教科书必修本中。在教学中适时地、自然地利用它们对学生进行故事教育，会达到事半功倍的效果。大数学家兼物理学家阿基米德，他的墓碑上刻的是一个圆柱体和它的内切球，后人在荒草湮没的故冢堆中，探访阿基米德，靠的就是这个几何图形的标记，因为他的墓碑上，没有任何文字说明，球的体积和表面积是它的外切圆柱体积和表面积的三分之二的这一功绩都是人们不能忘却的。在历史的长河中有许许多多的关于数学或数学家的故事，它们是取之不尽、用之不竭的源泉。
2.从生活中寻找
生活中，处处有数学，时时有数学，学生在用中学，学中用，就会觉得数学很有味道。不过河，就能知道河对岸的塔有多高，对学生来说，这样的问题多么具有挑战性，当通过研究，发现这其实这就是一个简单的解三角形问题的时候，又会感觉是多么有趣。又比如，在公比大于2的正项等比数列{an}中，前几项和为Sn，则an>Sn-1，显然，如果我们通过比数字大小来决定总的胜负，那么数学学得好的人就很容易取胜。最短路程问题、用料最省问题、效益最大化问题……生活中到处充满着数学的故事，充满着数学的思维逻辑。教师通过故事进行数学教学，学生在生活中运用数学，就会发现数学的魅力，学得有意思，学习成绩就会逐渐提高。
3.创生数学故事
三角几何共八角，三角三角，几何几何？”，当这样的问题抛给学生以后，学生可能既好奇又兴奋却不知所云。教师不必急于解释，要舍得给学生一些时间，当学生终于悟出其中奥妙之后，可能终生难忘，这就是我们教师留下的故事。如果教师当时就解释道：三角和几何两本书一共8角钱，三角这本书三角钱，几何这本书价值多少钱呢？学生就会感到寡然无味，因为仅仅作为一道数学题目，连一年级小学生都会做。因此，教师要善于制造故事，让学生在故事中成长，在故事中不知不觉地把数学学好。
课内、课外，都可以演绎不同的故事，故事中，教师是导演，学生是主演。通过主演，学生体验学习和创造的过程，培养正确的数学观;通过故事，教师进行数学教育教学，做一名有故事的教师，让每一节课都散发故事的芳香，这是一个多么美好的前景！
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