浅谈高中数学重要不等式的几何直观
不等式是高中数学教学中的重要内容，不等式的证明是高中数学的一个难点，也是历届高考中的热点问题。新课程标准把不等式设置为专题选讲内容，对本专题的设计特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，注重让大多数学生通过不等式的几何背景理解数学思想、认识数学本质，强调了不等式的几何直观，而淡化了证明不等式中比较复杂或过于技巧化的方法。
每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述，代数公式的几何直观，给原本抽象的代数式赋予更本质、更易于理解和记忆的意义，也体现了数学中最重要也是最基本的思想方法之一――数形结合，体现了数学的本质特征。美国数学家斯蒂思曾说：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。法国数学家G.绍盖曾说：一堆没有实验和直观所支持的定义，不能开发智力，而只能关闭思路。直观是创造活动和几何学之间的连杆，思维想象则是另一重要连杆。可见几何直观在数学学习与研究中的广泛应用和重要作用。
不等式的几何直观为解题提供思路和方法，帮助学生深刻理解、记忆代数公式的有效途径，是证明不等式的简捷方法。
一、绝对值不等式：a+b≥a+b≥a-b
<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕1.tif>[图1][a+b][b][a][a][b][a+b][a+b][b][a][C][A][B][C][A][B][C][A][B]
在△ABC中，BC=a，AB=b由向量关系，AC=a+b，则由三角形三边关系定理AB+BC>AC，即：a+b>a+b;BC-AB<AC，即：a-b<a+b。
当点B在线段AC上时有a+b=a+b;
当点A在线段BC上时有a+b=a-b。
二、“浓度”不等式：>（0<a<b，c>0）
如图2，点A，B的坐标分别为（b，a），（b+c，a+c），且满足0<a<b，易得直线OA的斜率kOA=，直线OB的斜率kOB=，由图示显然有：kOB>kOA，即>。
<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕2.tif>[图2][A][B][O][x][a][b][c][y][c]
三、均值不等式：≥（a>0，b>0）
如图3，易得正方形ABCD的面积大于四个直角三角形的面积，得到不等式：a2+b2>2ab，当直角三角形变为等腰三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一点，这时有a2+b2=2ab。如果a>0，b>0，用，分别代替a，b，则有a+b≥2，即≥（a>0，b>0）。
<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕3.tif>[A][B][C][a][b][图3][D][F][G][H][E]
在图4中，AB为圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE。易证△ACD～△DCB，因而CD=.由CD小于等于圆的半径OD，即得≤，当且仅当点C与圆心O重合，即a=b时等号成立。
<D：＼期刊2015＼中学2015-9A＼正文＼王海燕4.tif>[b][O][a][D][E][图4][C][B][A]
在图5中，设C，E为直线y=x上坐标为（a，a），（b，b）的两点，并考虑点A（0，a），B（b，0），D（b，a）。易得△BOE的面积SBOE=，△AOC的面积SAOC=，考察矩形AOBD，它的面积SAOBD=ab，易看出它被△BOE与△AOC完全覆盖，因此SAOC+SBOE≥SAOBD，即有a2+b2≥2ab，若a>0，b>0，用，分别代替a，b，则有：≥（a>0，b>0）。当且仅当△CDE的面积为零时，即C与E重合，因而a=b时，等号成立。
四、调和不等式：≤≤≤
即调和中项≤几何中项≤算数中项≤均方根
梯形ABCD中，AB=a，CD=b，O为对角线交点，GH为梯形的中位线，KL是平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLCD成相似的线段，EF为过O点且平行于两底的线段，MN是平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段。易得GH=;由于梯形ABLK∽梯形KLCD，则有=，即=，得KL=;由=，=，易知：=，故=，则EO=OF=EF，又由===1-，和=，得到=1-，这样EO==，从而EF=2EO=;设MN=x，并设h1，h2分别是组成梯形的两个不规则的四边形的高，因此h1+h2是梯形ABCD的高，于是有：
?h1=
?
（h1+h2）
?h2=
?
（h1+h2），
此方程组当且仅当x2=时有一个解，即x==MN，由图得：EF<KL<GH<MN，从而<<<。
当且仅当梯形ABCD为平行四边形时，即a=b时，EF，KL，GH，MN重合，即有===。
五、柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
如图7所示的三角形，易得OP=，OQ=，PQ=。由三角形余弦定理，PQ2=OP2+OQ2-2OP?OQ?cosθ，将OP，OQ，PQ的值代入，并化简，得到：cosθ=，由0≤cos2θ≤1得到cos2θ=≤1，于是（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 当且仅当θ=0时等号成立，即=，亦即ad=bd。故不等式中的等号当且仅当ad=bd时成立。
如图8所示，P（a，b），Q（c，d）是直角坐标平面上的两点，= ， =。作平行四边形OPRQ则点R的坐标为（a+c，b+d）， =+ 。在△OPR中，由两边长之和大于第三边这一事实得，OP+PR≥OR即
+
≥
+
，亦即+≥，两边平方整理，得?≥ac+bd，两边再平方，即得（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2。当且仅当与 共线，即ad=bc时等号成立。
通过以上一些重要不等式的几何直观，我们一定惊叹于数与形结合的美感。这些重要的代数公式，都是通过一些浅显的几何事实得到的。这种数与形的转化思想是值得我们在数学教学中重视和学习的。几何直观体现了数形结合的一方面，而数学教学和学习的过程都不能只侧重某一方面，要培养学生尝试且熟练将数与形结合起来，既要会“以形助数”，又要会“以数解形”。
在实际教学过程中，教师在讲授以上代数公式时，可以通过这些代数公式的几何直观来创设情境，引导学生从直观几何图形中发现相等或不等关系，进而得到代数等式或不等式，使学生通过几何直观对代数公式有初步认识，然后再进行严格的逻辑推理证明加深认识，促进学生抽象思维的进一步发展，同时培养学生数学逻辑的严密性。直观与逻辑对我们来说缺一不可，但从发现真理培养意识与思维能力的角度看，直观是第一位的。所以在讲授这些代数公式的过程中，它们的几何意义必不可少。
总之，几何直观可以以形象思维来弥补抽象思维的欠缺，可以有效地培养学生抽象思维和形象思维的协调能力，进而促进抽象思维的发展，最终达到理性思维的锻炼和发展。几何直观会给学生解题带来方便，可以培养学生自信心，增强学生数学学习的兴趣。可见几何直观在数学学习与研究中是非常重要的，在教学过程中教师要时刻有意地渗透这种思想，加强学生的应用意识，使学生的数学素养得到提升。
