创建生态数学课堂 开展高效数学活动
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0172-02
一、引言
1932年，美国教育学者沃勒在其《教学社会学》一书中提出了“课堂生态学”的概念。目前，国内外有关生态课堂的研究越来越多，生态课堂成为了现行热门的教学模式。所谓生态课堂，是自然、和谐的课堂，是让学生自主学习、充分发展的教学环境。幼儿师范学校的男生入校平均成绩高出女生约100分，他们大都喜爱数学、喜欢思考，有着较好的数学素养。这些都是打造生态数学课堂，开展高效数学活动的有利条件。
二、探索
1.重视知识的生成过程，在过程中体验数学。在女幼师生的数学教学中，有教师认为，只要把公式告诉学生，然后多做练习强化训练，就能巩固知识，从而取得良好的教学效果。然而事实却相反，这种教法只重视知识的应用，忽略了知识的生成过程，容易造成学生对公式理解不透、掌握不到位，只会死记硬背，在解题过程中生搬硬套，教学效果不尽如人意。相比女幼师生倾向于接受数学知识的现状，男幼师生更希望能发现知识、探索知识。因此，笔者的数学课讲求逻辑推理，通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，使学生理解数学概念、结论的逐步形成过程，体会其中蕴含的思想方法，从而真正地理解和掌握知识。
笔者以“两角和与差的正弦”这一课为例，对部分教学内容作如下设计：
问题1：上节课学习了哪两个公式？
问题2：上节课如何推导cos（α±β）这个公式的？
【备注】温故知新，为本节课的新知探究提供有益的启发。
问题3：本节课要学习哪两个公式？
问题4：怎样推导两角和的正弦公式？
问题4.1：我们已经学习了两角差的余弦公式，能否用这个已学知识来推导？
问题4.2：我们已经学习了两角差的余弦公式的推导方法，能否用这个已学的方法来推导？
【备注】问题4.1是已学结论的运用，问题4.2是已学方法的再运用。通过两种方法的比较运用，体会不同的数学价值。
问题5：怎样推导两角差的正弦公式？
问题6：如何理解这些三角公式之间的联系？
【备注】细化知识，深入理解新知。
在这堂课的教学过程中，通过“复习cos（α±β）的推导过程”→“分别用已学知识和已学方法推导
sin（α+β）”→“揭示公式之间的联系”这三个环节六个问题组成的问题链，让学生体会两角和与差的正弦公式的发生、发展过程，在过程中体验数学。前苏联著名教育家斯托利亚尔在《数学教育学》一书中阐述：“数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果――数学知识的教学。”在教学活动中我们除了关注活动的结果，更要关注活动的过程。数学课应该返璞归真，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，努力营造一个生态的教学环境，让学生在知识的生成过程中获取知识、掌握知识，提升他们探索未知的能力。
2.合理设置例题，引导学生提出问题。这是“异面直线”一节课后的一道习题，在男生班的实际教学中笔者把它升格为一道例题。
例题1：空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若AC=BD，求证：四边形EFGH是菱形；
（3）当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？
教学案例1-A（基于问题解决的学生活动）
①一次性呈现全部例题；
②学生看到题干，注意力集中在“中点”；
③根据中位线的性质等证得（1）（2）；
④在前两小问的基础上，学生很快想到利用异面直线所成角的定义，解决了最后一小问。
【备注】解题目标和思维指向性明确。教师与学生共同分析并完成，最后强调表述的规范性。
教学案例1-B（基于自主发现的学生活动）
呈现题干及问题（1）；
【备注】先提供一个基本问题并解决它。
师：如果结论加强，要证明四边形EFGH是菱形，需要增加什么条件？
【备注】改变结论，引导学生逆向思考。
师：你能否改变条件，再编一个新的题目？
【备注】放手让学生自己提出问题，体验数学发现与创造的过程。
1-A中学生解决了一系列问题，1-B中学生解决一个基本问题后，在教师引导下提出新的问题，并解决了它们。
1-A是按部就搬的教学模式，1-B中笔者尝试的问题教学是一个发现之旅，让学生在思考、提问、解决的旅途中收获了经验，加深了理解，对他们的数学能力的形成产生了重要的影响。
爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”问题是数学的心脏，解决别人的问题固然可以提升自己的理解能力，但无法提升想象力，自然就难以形成创新能力。例题教学是我们培养学生提问能力的绝佳机会，我们的学生只有会提问，有创新意识，才能在未来的道路上走得更远。
3.立足最近发展区，开展有挑战性的活动。 例题2：数列{a }的前n项和为S ，若S =3a -1，
a =2，求{a }的通项公式。
教学案例2-A（步步铺垫的数学活动）
师：题目中给了S 和an的关系式，求的是a，怎么办？
生：退一相减法。
解S =3a -1，S =3a -1（n≥2）.
【备注】此处，教师强调n≥2，避免学生犯错，同时也错失了一个鲜活的教学资源。
两式相减，得a =3a -3a .
所以a = a （n≥2）.
【备注】此处，教师问学生：“这个式子是不是说明{a }是一个等比数列？”这里非常容易出错，教师这样启发，大部分学生心领神会，这样问肯定不是等比数列。
因为S =3a -1，S =a =2，
所以a =1.
即a ，a ，a ，…K是首项为1，公比为 的等比数列。
故当n≥2时，a =a q = .
【备注】第三个易错之处，教师再次启发，解题过程顺利进行。
所以求{a }的通项公式为a =2，n=1 ？摇 ，n≥2
【备注】教师给出规范结果，再次强调书写过程。
教学案例2-B（挑战式的数学活动）
呈现例题的条件：数列{a }的前n项和为S ，若
S =3a -1，a =2.
师：我们能知道什么？
生：a ，a ，a ，…a .
完整地呈现题目。
【备注】大部分学生都能答上来。学生兴致很高，动手开始做。
上面所说的关键处，每个地方都有学生出现错误，因而最后的结果千奇百怪。错误有：
（1）忽视n≥2，认为{a }是等比数列；
（2）会求a 但是q的指数写成n-1（应该是n-2）；
（3）忽略过程直接写结果；
（4）最后结果不知道要分段写；
（5）运算错误，写法不规范等。
【备注】只要有一处错误，都将导致结果不同，所以先提醒学生：验证一下你的结果对不对（即把n=1和n=2带入检验），错误自然就暴露出来了；找一个正确解答，在实物投影仪上投影最后结果；继续让学生自己查错纠错，实在查不出来的，同桌之间互相讨论和查找；找有代表性的错误解答，投影分析，由学生指出并纠正。最后投影完整解答。
上面的教学案例2-A中，教师步步提醒，带领学生解题，学生活动看似畅通无阻，实际是机械跟随，毫无自主探索可言。教学案例2-B则相反，教师提供一个数学现象，学生面临多种挑战，教师适时地调动学生的积极性，学生在自主探索的过程中收获了一个个活动经验，技能和思维都获得了提高。
建构主义认为，有效的教学不是通过教师的直接讲授，而是学生自主探索建构出来的。奥苏泊尔说过：“教育者最重要的工作就是知道学生已经知道了什么。”了解学生的实际水平，找准他们的最近发展区，提出有挑战性的问题，让学生从已有的经验出发，通过积极思考、自主探索，获得解决问题的方法，是保证高效活动的前提。
三、结束语
笔者的实践表明，构建生态的数学课堂，使学生成为学习的主人，学生的数学活动会更加高效，从而真正促进学生的成长。
