梵天塔游戏中的数学
数学家陈省身曾为少年儿童题词写下“数学好玩”四个大字，数学家张景中著有《好玩的数学》丛书，谈祥柏著有《乐在其中的数学》，数学的好玩在数学游戏中有，又不限于数学游戏，在数学游戏中感受数学的好玩也有不同层次和境界，梵天塔游戏能启迪学生心智、开阔视野、增长知识、锻炼思维、提高数学修养。在梵天塔游戏中蕴含许多值得研究的数学问题，在玩游戏之前是预料不到的，而且这样的数学学习是有趣的、有用的，更是必要的，值得我们认真深入挖掘。
有关梵天塔游戏有一个传说，说的是在古印度有一座大寺庙，有一方形底座，上面立着三根钻石做的圆柱，在其中一根上穿了64个大小不同的金环，依照下面大上面小的顺序排列着。上帝命令僧侣要将64个金环移到另一根圆柱上，移动规则是每一次只能移动一个金环，而且大的金环不能放在小的金环上。如果这些工作完成，就是世界消失的日子。
从这个传说自然会产生这样的问题：要移动多少次？需要多长时间？
从传说的故事开始激发学生研究数学问题的兴趣，于是又进一步引导学生发现，为了解决上面的问题，先从圆环数目少的情况研究开始。可以发现，一个圆环，移动1次即可；两个圆环，需要移动3次；三个圆环，需要移动7次；四个圆环，需要移动15次；五个圆环，需要移动31次……
猜想：n个圆环，需要移动多少次？
若把每种情况的移动次数依次记下来，就形成了一个数列1，3，7，15，31，……于是上面的问题就转化为一个数学问题：数列的第n项是多少？也就是说数列通项公式是什么？项数表示圆环个数，数列的项表示按要求移动圆环到目标柱上所用的步骤数。
在移动过程中能够发现这样的规律：n个圆环最初按下面大上面小的顺序穿在第一根柱子上，要移动最下面最大的第n个圆环，首先必须把它上面的其他n-1个圆环移到另一根柱子上，再把第n个圆环移到第三根目标柱上，最后再把其他n-1个圆环移到第n个圆环的上面即可完成所有的任务。
若按要求移动n个圆环到目标柱上所用的步骤数记为an，按要求移动n-1个圆环到目标柱上所用的步骤数记为an-1，则由上面的分析知道：an=2an-1+1
从这个数列的递推公式出发有三种方法得到数列的通项公式。
②式两边同乘2，③式两边同乘22，④式两边同乘23……，最后一个式子式两边同乘2n-2，然后把①式和这些得到的式子相加得：
an=1+2+22+23+24+……+2n-1
即得：an=2n-1
总之，在知道数列的递推公式的情况下，与方法一一样使用叠加法来推导数列的通项公式。
方法三：
从a1=1=2-1，a2=3=22-1，a3=7=23-1，a4=15=24-1，a5=31=25-1……
可以归纳出结论：an=2n-1
用不完全归纳法得到的结论需要证明，我们可以用数学归纳法证明，证明如下：
（1）当n=1时，也就是只有一个圆环时，显然移动1次即可，a1=2-1=1，说明式子当n=1时成立。
（2）假设当n=k时式子成立，即ak=2k-1，也就是按规则移动k个圆环到指定柱子时，显然移动2k-1次。从前面的分析我们已经知道，要移动最大的第n个圆环，首先必须把它上面的其他n-1个圆环移到另一根柱子上，再把第n个圆环移到第三根柱子上，最后再把其他n-1个圆环移到第n个圆环的上面即可完成任务。也就是an=2an-1+1，类似容易知道ak+1=2ak+1，于是ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1，也就证明了当n=k+1时式子an=2n-1成立。
利用数学归纳法，由上面两点证明了移动n个圆环到目标柱上所用的步骤数为：an=2n-1
再回到最初的故事，要移动64个金环，就是当n=64时，移动次数为：
a64=264-1=18，446，744，073，709，551，615次
若每移动一次用一秒，一小时3600秒，一天24小时，一年365天，一共大约需5840亿年，才能移完。学生从来不会想到264竟然是那么大的数字，有了这次经历，他们对数的认识又加深了。
上面的问题如果再加一限制条件，每次移动金环只能移到相邻的圆柱上，问需多少次才能移完？可以作为另外的思考题目，让学生进一步课下研究。
总之，在梵天塔游戏中，除了蕴含有趣的逻辑推理外，还可以抽象出数列，深入研究会发现，数字中藏着很多秘密。数列通项公式的得到可以用不完全归纳法猜想得到，然后用数学归纳法证明，也可以用叠加法推导，这些都是数学中非常重要和常用的思想和方法。
