解决问题中数量关系模型教学的有效策略
【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2016）07B-0047-02
在小学六年级分数乘法教学时，笔者整理了这样一组题：
题①买5支水笔需要10元，照这样计算，买3支水笔要多少元？
题②一本书有45页，已经看了 3/5。已经看了多少页？
题③整个长方形表示15，阴影部分表示多少？
题④草莓的单价是25元，是香蕉的5倍。柠檬的单价是香蕉的3倍，柠檬单价多少元？
仔细阅读分析之后，我们不难得到这组题的解答分别是：10÷5×3，45÷5×3，15÷5×3，25÷5×3。这里有整数的解决问题、分数的解决问题甚至还有图形题，为什么四个不同的问题都是几除以5乘3？其实，这组题我们都可以用下图来解释，都是先求1份再求3份。其实这就是模型化的思想。
解决问题教学的关键是训练学生解题的策略，其特点是用学生丰富的生活经验，帮助学生理解解决问题的方法，从而提高教学效益。
课改前在小学数学应用题教学时，我们就很重视分析题目中的数量关系。随着课改的实施，不少一线教师逐步把数量关系教学弱化甚至边缘化，而学生解决实际问题往往是在生活经验或者直觉的支持下进行的。因此，学生对解决问题的过程缺乏有意识的体验，不利于学生形成解题的策略。随着课改的不断深入，笔者认为应从学生已有的知识出发，引导学生利用生活经验理解问题，将分析数量关系作为解决问题策略的关键。
2011年版《义务教育数学课程标准》明确指出：“了解分析和解决问题的一些基本方法”； “在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”。成功吸取课改前传统应用题教学的成功做法。像“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”这种针对数量相依关系，采用形式化的数学符号和语言，概括性地表述出来的数学结构化语言（公式），就是数学模型化。
一、加强运算意义教学，建立基本模型
小学阶段数学的解决问题涉及知识，大都可以归结为四则运算模型（含图形与几何方面的主要问题）。因此，笔者认为在教学过程中，应该加强运算意义的教学，以理解运算意义为基础，让学生进行初步体验和归纳，把运算与数学问题进行沟通，建立最基本的数量关系模型，提高学生分析数量关系的能力。
比如，在一年级学生认识加法运算的意义时，教师可以帮助学生结合具体的情境理解加法意义：根据已知两个不同的部分数，要求总数是多少，就是把这两个部分数合在一起的运算，这种运算叫做加法运算。如一年级下册有这样一道题目：一件上衣50元、一条裙子40元、一条裤子30元，（1）买一件上衣和一条裤子多少钱？（2）付给售货员100元，应找回多少钱？（3）你还能提出什么数学问题？教师可以在学生仔细读题之后帮助学生这样理解数量关系：衣服的价格+裤子的价格=总价；在具体情境中多次体验、感悟“数学模型”典型实例的基础上，理解、建立它们之间的数量关系模型就是“部分数+部分数=总数”。
在教学认识减法运算的意义时，教师可以帮助学生结合具体的情境理解减法意义，如有这样一道题目：有35本故事书借出2本，有35本动漫书借出20本。（1）还剩多少本故事书？（2）还剩多少本动漫书？教师可以引导学生理解这样的数量关系：“总共的故事书-借出的故事书=剩下的故事书”和“总共的动漫书-借出的动漫书=剩下的动漫书”。其实这个题目的数量关系模型就是“总数-分数=另一部分数”。
在对两个数量进行大小比较时，教师可以让学生借助具体情境，可以用减法运算比出它们的大小，也就是从较大数中去掉与较小数同样多的部分，余下的部分既是较大数比较小数多的部分，又是较小数比较大数少的部分，也是较大数与较小数相差的部分，数量关系模型就是“大数-小数=相差数”。
当然在教学乘、除法时也一样要注重运算意义的教学。总之在解决实际问题时，要把解决问题与数学意义紧密联系在一起，潜移默化地渗透数量关系，建立基本的数学模型，为提高学生解决问题的能力奠定基础。
二、结合情境教学，建立常见模型
加强数量关系分析的指导，在用数学方法解决问题的过程中，注重常见数量关系的抽象概括与应用，以数量关系的有效构建提升学生分析问题和解决问题的能力。
比如，有这样一道题目：有两个人在相距72千米的两个地点同时相向而行，第一个人的速度是4km/h，另一个人的速度是8km/h，有一只狗原来与第一个人在一起，与两个人同时出发，向第二个人的方向跑去，当他追上这个人时，立刻向相反方向跑，去追另一个人，这样重复下去，不停地在两人之间运动，直到两人相遇为止。如果狗的速度是6km/h，问这只狗跑的距离。
本题出现在小学高年级，但事实上这题难倒了不少初高中的学生，一些大人也束手无策！究其原因，学生们在不断细究狗每一次的动作，想算出每一次跑的路程再相加觉得很难。这时，从整体上分析问题、思考问题就轻而易举：根据路程、时间、速度三者的关系s=vt，要求狗跑的路程，其实只要知道狗的速度和时间。速度已经有了，只要知道狗跑的时间就可以了。两个人同时用的时间与狗跑的时间相等！人所用时间：72÷（8+4）=6小时，狗跑的距离即6×6=36千米！多么发人深省的思想啊！我们就应该给学生更多的机会，让他们从整体上思考、分析问题，看的不同了，境界也就不一样了！
其实在教学中，我们在抽象出数量关系模型后，还应让学生学会变式运用，做到举一反三，如根据“速度×时间=路程”，变化出“路程÷时间=速度，路程÷速度=时间”；根据“单价×数量=总价”演绎出“总价÷数量=单价、总价÷单价=数量”等。这些基本关系式具有高度的概括性和广泛的应用性，我们可以用概括的语言和符号表示出来，建立数学模型，有助于培养学生抽象、概括的思维能力，感受数学抽象的美。当然数学模型建立后，教师应引导学生将建立的数学模型迁移到他们不熟悉的情境中，作为实现解决问题的方法和措施。
三、依据基本关系，以模型化繁为简
小学阶段的数量关系教学，既有简单的基本数量关系教学，也有复杂的复合数量关系教学。复合数量关系教学是小学中高年级的重要内容，也是整个小学阶段数量关系教学的重难点与核心。因此，学生在掌握基本数量关系模型的基础上，必须了解和学会建构复合的数量关系模型，以模型化繁为简。
比如，新教材六年级上册分数除法单元新增这样的题目：一套运动服共300元，裤子价钱是上衣的。上衣和裤子的钱分别是多少？数量关系是上衣的价格+裤子的价格=总价。但是仔细读题我们还会发现：裤子的价格=上衣的价格×。让学生对两个数量关系进行分析，发现上衣价格是3份，裤子价格是2份，那么整套衣服的价格就是5份。先求1份再求上衣和裤子的价格就可以了。
这样，这个题目的解决回到了本文一开始的题组，先求1份再求几份的问题。只能让学生在分析、解题与编题的过程中，明白简单数量关系如何转化为复杂的数量关系，从而提升学生思考与解决问题的能力。
我们在解决问题教学时，应该引领学生把书本知识与现实生活紧密联系，把问题从具象到抽象概括，把解决问题从经验式逐步提升到用数学方法解决问题。无论用等式、符号、语言还是图形、模拟等各种形式表示数量关系，关键都在于让学生经历建立数量关系模型的抽象过程，体验提炼、运用策略的全过程，在经历建模、策略应用的过程中，逐步提高学生数学思维水平，帮助学生积累数学经验，把其丰富的体验和认知转化为逻辑推理和数学抽象能力的发展，进而有效地促进学生思维品质的发展，达到教育教学的目的。
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