对数学基础的0和1的新认识
学习和研究数学、物理学的人都知道，现行理学中有很多重大悖论和疑难；连逻辑主义数学家弗雷格也说‘逻辑在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解。这一问题直接威胁到数学的基础………更重要的是，威胁到自然数的定义。’还说‘对什么是1这样一个貌似简单的问题，尚未有一个完满的答案……否则，我们最终将弄不清楚负数、分数或复数。’（引自[3]）
数学家们也都哀叹数学的悖论灾难越来越深重了；有些数学家试图用“零（记为0）和无限大（记为∞）是关于1的反演点，即0∞=1”的方法（引自[1]的第8页）来躲避如影随形的悖论，但更不通了，因为现行的所谓“实数”已（无理的）规定“0是整数、偶数，但不能做除数”；而且0既然是“实数轴”的始点，而∞却在无限的遥远，也不是真正的反演。明摆着，是“实数”有毛病，即“实数轴”为无限的直线是错误的。
令人惊喜的是，如把“实数轴”改为有限的线段，则整个现行数学基础就被革命性纠正，从而所有相关的悖论和疑难也随之全部消除。
于是，所谓“实数”就有了其新概念〈数〉 （用〈〉 表 示 新概念）。
1“实数”的新概念
先取“实数轴”的正半轴射线改为线段 ，再把它有限等分，并把有序性编号①、②、③…从左向右标在相应的分点上，则1、2、3…等称为有序积段，而①、②、③…是其分点的 编号，如图1。对这同一线段，当有序编号○n增多，则等分分段△n间隔缩小，但△n≡1（‘固符’△专使△n≡1），如图2。
图2显示出四点： 第Ⅰ、总 段（总段用粗体1标志，以区别于积段1）的始点是○0；○0是0的编号； 第Ⅱ、如果反序读正半轴的 ，则也出现负号，这说明正负符号与有序积段 本身无关（例如钱这数量，其本身是没有正负的，只在使用时才出现正负号。）； 第Ⅲ、如把每一分段△n继续不断十等分，则○n ○∞，但○n≠○∞，否则△n=1/○∞=0，总段就不存在了，这 就 有 悖 ；这也证实了○∞不属于总 段 1 ，即○n和○∞分别是1 和∞两者界点的编号。所以编号为○∞的∞不在总段1上，而 是 总段1的终端○n之外的空间。注 意 ， 同一界点的两个编号○∞和○n是不容许换位的；但现行的“实数轴”是无限的射线，才使数学家们把○∞和○n合二为一了，即可以○n=○∞了，这是“实数”有缺陷的根本原因； 第Ⅳ、不管编号○n如何增多，恒有△n=1，即等分分段△n≡1。
同理，现用的负半“实数轴”用上述办法也可显出图2这四点，如图3。
然后把图2、 图 3在○0点连接成一条线段，就成了一条完整的 新 数 轴， 如图4。当无轴排序时，才在编号前加负号表示左序。显然整个新数轴仍以总段1标出，其分段编号为两组○n；总段1的两端之外都是∞了，也即两端点都是n与∞的界点，都标着○n和○∞两个编号，这很容易把○n和○∞混同，请看图4。
由四个图可知，0是不真的数，因为它没有长度，因此0在新概念中仅表示‘无’、‘空位’等。由图4可看出，0是微观的‘无’，∞是宏观的‘无’，作为数都是不真的。要有总段1，才能被有限多的编号○n等分后得到有限多的有序积段 ；如果没有总段1，就会把有序编号○n与有序积段n混而为一了。
据上述知，把 总段1按有序编号○n等分后，各从始点到○n的点的有序积段 称为〈自然数〉 ；但
这〈自然数〉 是有限的，所以是新概念，其数轴是新概念数轴。
注意：事实上总段1不是〈自然数〉的1，因为它不是由等分得到，因而没有编号，所以不是〈数〉。
不连续的〈自然数〉叫〈整数〉。所以〈整数〉中没有正号、负号和不真的〈数〉0、∞ 。
数学范畴不能引入各种量，因而没有量纲（量纲即量度单位），以致人们不会区别〈纯数〉和〈量数〉两个概念，现在有了新概念〈自然数〉，就可区别〈纯数〉和〈量数〉了，例如 和m /○n，虽然两者都是〈自然数〉之间关系性式子的〈数〉，但前者是〈纯数〉而后者是〈量数〉。
进而，一切小数无论是‘有理的，无理的，或超越的’，实质上都是物理元素间或几何元素间的关系的值，亦即仅由〈自然数〉 （○n是其编号）间按各种 关系 性 运 算 符号 组成的式子产生，如 、 、1.4142……= 、 = 【注意，在没有量纲的条件下， L，D都只能是 （ 存 在 性 的 ）〈整数〉 ，不可能是（关 系 性 的 ）小数；因为总可以用最小的度量单位，能使小数点消去。】、 ，等。
有了 新概念〈自然数〉，就 知 道 任何小数在表达上都没有独立性（须由〈自然数〉组成的式子表出），而 且 甚 至没有完全性（如无限小数须取近似值），所以都不能 标在新 概 念 数 轴上。有了〈自然数〉，还 容易区分无限小数中的“无理性和超越性”，如无限小数、无理数 、 这两式中的 〈整数〉 是确定的，而 、 中〈整数〉 是不确定 的，这就是 、 为何具有‘超越性’的原因。显然，这一判断方法是简明有效的（而康托的用数轴判断法是错误的，因为凡小数都是关系性的数，在数轴上是没有的）。
由新 概 念 数 轴可看出，<整数>n表示‘有限大’，其编号○n表示‘有限多’；同理，0表示‘无大’， 其编号○0表示‘无多’，∞表示‘无限大’， ○∞表示‘无限多’。这就证实了，数学家们为躲避悖论所用的“0和∞是关于1的反演点，即1/0 →∞”，须纠正为用新概念表达的1/○0=○∞才正确，因为○0和○∞分别是总段1的两个端点，1才是真正的‘反演段’（不是“反演点”；请参看图2或3）；这与上面论证相印证。 上面已证实，正负号是附着〈整数〉的而不是含在其中的，于是可得虚符： ，从而 也是附着〈整数〉而不是含在其中的，所 以‘虚数’实 质 是〈虚符〉，仅起隔开、过渡和连接的作用，如‘复数’
a+ b，实质是两〈整数〉 a和b由〈虚符〉 连接、隔开而成。
概 括上 述 ，总 称 为“实数”的含义不合事实，应改称为〈数〉，表示新概念：〈数〉包括由总段1所产生的真的数〈自然数> 和其编号○n，不真的数0、 和其编号○0、○∞，由〈自然数〉 和其编号○n按各种关系 性 运 算 符号 组成的式子产生的各种小数。用〈虚符〉连接的〈数〉可依旧称为‘复数’。
还须提醒四点：
（1）既然在新概念的数轴上，不存在各种小数，所以还证实了与“实数”相关的所谓“开区间”、“闭区间”也是假概念，由新概念编号○n取代，，这极大的浅简了高等数学。
（2）函数关系性（不管是几何关系或是物理关系）的〈数〉，不是坐标轴（坐标轴 由数 轴 组成）上本身所有的存在性的〈数〉。所以，坐标轴上只能标上存在性的〈数〉 即新概念〈自然数〉；当 用到不同函数式的分数、小数和无理数时，只能临时在轴上点出。
（3）上述证实了，客观只存在‘线段’，即‘线段’是真概念，而‘射线’和‘直线’应分别是‘一个端点暂未确定的线段’和‘两个端点都暂未确定的线段’的简称。
（4）由1/0=○∞，从而有1/○0= 这证实了0 是微观的‘无’，∞ 是宏观的‘无’；‘无’即‘空间’，1 表示总‘物质’ ；这表达了宇宙有限和无限的统一。
2解决现行数学中几个已公认无法解决的悖论和疑难的实例
（1）“整体等于其局部”悖论和对其解决：现行科教书依据所谓“实数”，用康托的“一一对应法和势的大小”证出“自然数与其正偶数（或正奇数）一样多”，从而得出“整体等于其局部”。
解决：由于新概念〈自然数〉是有限的，即知这是悖论。
（2）“康托集”悖论和对其解决：现行科教书关于“康托集”的表述是（引自[2]363页和366页）：“把区间 [0，1]（即长度为1的线段）三等分，弃中间子区间（1/3，2/3）；如此连续弃中，问弃的数多还是剩的数多？”，“经运算，所弃的子区间之和的长度A=1；但还剩点集X，其元素（即长度为零的点）有无穷多；用一一对应法，点集X的元素与长度A中的元素一样多”；“与我们的习惯思维似有矛盾……全部区间都扔掉了，但像没扔掉。”
上面引文显示，编著者实际已承认了其“证明”是悖论；事实上，所弃的和还剩的都不是“点集”而是‘段集’（即其元素都是长度不为零的小线段）。
解决：用新概念〈自然数〉，所谓“区间 [0，1]”（注意，有了〈自然数〉的‘编号’，“区间”已被‘编号’取代，即所谓“开区间”、“闭区间”已被否定）实即总段1，其终点编号○n≠○∞，即所弃的“子区间”总长度为A，而所剩的区间之和的长度为a；所以A远大于a。于是该悖论解决。
（3）“连续统假设”悖论和其解决：现行科教书已承认了该“假设”是无法解决的第一难题。
解决：由新概念〈自然数〉知，该“假设”是“整体等于其局部”悖论的一般化，这等于已得到解决。
（4）罗素悖论的解决：罗素在研究自然数时发现了罗素悖论：‘集包含自身为元素’。第三次数学危机由该悖论的提出引起；至今没有解决。
解决：如用新概念的〈自然数〉，因总段1不是积段的1，即总段1不是〈数〉，就不会‘集包含自身为元素’，于是 罗素悖论即得解决。
（5）‘费马大定理’（即xn+yn=zn，当n>2时，无正整数解）疑难的解决：现行科教书依据现行“实数”概念，宣称该‘定理’由怀尔斯在1995年成功证明，但数学家们都认为怀尔斯的证明太冗长、不浅简，因而其证明性不强（注意，费尔马在关于这不定方程的待求正整数解这页的空白处写道：‘…………我已发现了这个美妙证法，可惜这里的空白地方太小，写不下。’；这证明费尔马的‘美妙证法’是很简短的。）
如用新概念〈自然数〉，可简洁证明如下：
首先，应把费马定理式子改写成x○n+y○n=z○n，这是因为由“实数”新概念，指数只能是以<整数>为底数的编号○n，表示自然空间的?S度。由于自然空间只能是三维的（因为过自然空间中一点只能引两两互相正交的三条直线。），所以当○n>○3，该定理式子的x、y、z就都不成线段，从而就不存在，所以没有<整数>解；当○n=○1、○n=○2，已知有<整数>解；当○n=○3，人们已证没有<整数>解。所以当○n>○2时，x○n+y○n=z○n无<整数>解。证毕。
所以，失逸的费尔马的‘美妙证法’，必是这种证法。
（6）现行教科书中两个疑似已解决的著名悖论（即‘庄子悖论’和‘芝诺悖论’，请看[1]的第3和第9页）， 其实并没有真的解决，原因就是没有积段n和分点编号○n之分，即虽知○n ○∞，却 不 知 ○n≠○∞，把○n和○∞两个编号混同了，才说出“无限段路程之和可以是有限量”（引自[1]的第3页末；注意，此话是具体、清楚的低劣错误，出于数学家之口，实为数学的悲哀）这种有悖的“结论”，从而没能真正解决这两个悖论。所以，只有知道新概念<自然数> n是有限的，即○n ○∞但○n≠○∞，表达了○n仅具‘未知性’而不具‘无限性’，从而不会把○n与○∞混同（由图2或3更可直观看出，总段1的终点是n与∞的界点，并标着○n、○∞，很容易混同），才使这两个著名悖论得到真正的彻底解决。
所以，这实例6，应概括为一句直观而浅简的实质性表述：总段的n是积段，而每分段恒为1，于是有n÷1=○n，这编号○n就有限；当此确定线段被长度为0除，有n÷0=○∞，即得编号等于○∞；于是○0和○∞都不在此线段上而分处总段的两端（○n和○∞分别是n与∞ 分界点的编号，看图2或3）；所以区分了n和○n，这两著名悖论才彻底解决。
（为简，更多实例，略。）
显然，使用“实数”的新概念<数>，能消除悖论而没有不良副作用。
