利用数学模型打造中职数学高效课堂
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）05B-0134-02
中职生群体具有一定的特殊性，他们中的大多数人的数学基础较差，学习主动性也不高，因此中职数学的高效课堂一直难以实现。笔者在教学中发现，充分利用数学模型能够有助于提高学生的解题效率，有效提高中职生的数学素养，增强学生的数学应用能力，高效课堂由此形成。
一、数学建模的思想概述
数学建模就是把实际问题通过数学语言抽象概括，从数学角度来反映实际问题，从而得出关于实际问题的数学描述。数学建模的形式多样，可以是方程或方程组、不等式，也可以是函数、几何图形等。学会运用数学建模思想解决数学问题，对于学生学科素养的提升大有益处。下面介绍几种数学模型及相关问题的归类：
方程（组）一般涉及的问题有：工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、存贷、调配、面积等。
函数一般涉及的问题有：方案优化、风险估算、成本最低以及利润最大。
不等式、统计、概率等模型一般涉及的问题有：最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、投资估算等。
直角三角形模型一般涉及的问题有：测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝设计、房屋设计等。
线性规划初步模型一般涉及的问题有：产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估、利润分配、生产方案设计等。
二、利用数学模型打造高效课堂策略
（一）引导学生自主探究
由于中职生的自制力较差，缺乏毅力和钻研精神，上课时习惯于“走马观花”，因此学习效率低下，即使教师刚讲完某道题的解题方法，下次遇到同类问题时依然有不少学生还会做错。因此笔者认为，教师在教学时应当引入数学模型，引导学生对问题进行深入探究，通过提炼数学模型，提高学生的解题效率。
如笔者在对《概率与统计初步》这一章节的内容进行教学时，提出了一道关于抽奖的探究性概率问题，以考查学生对这部分知识的理解与应用程度。
问题 1：在日常生活中有各种各样的抽奖方式，其中有一种抽奖方式为抽签，每个人选择的顺序不同，但获奖的概率是否相同呢，这种抽奖方式是否公平呢？
问题提出后，学生展开了激烈讨论，有的学生认为公平，有的学生认为不公平，但是大家都没有通过精确的计算来证明自己的结论，而只是给了直觉上的答案。因此笔者让学生通过计算来验证自己的结论，并找出这一抽奖方式的概率模型。假设有 m 个人抽奖，共有 n 个不一样的签，而其中有奖的只有 k 个。一开始有学生回答：“随着 m 个人的抽奖顺序，概率依次为，每个人得奖的概率不同，所以不公平。”笔者进一步提示：这道题用这个模型来解答对不对？经过一段时间的深度思考，学生发现，每一个人抽奖的结果有两种可能，所以要分情况考虑：当第一个人抽奖时，他的中奖概率为，第二个人抽奖时，若第一个人中奖，则他中奖概率为，若第一个人没中奖，则第二个抽奖人的中奖概率为，所以综合两种情况来看，第二个人中奖的概率为，即每个人获奖概率均为，所以这种抽奖的方式是公平。
在上述教学活动中，笔者通过引导学生对概率问题进行深入探究，使学生成功构建了抽奖的概率模型，既能培养学生的钻研与自主探究的精神，还使课堂教学变得更高效。
（二）利用数学模型一题多改
数学模型是一种运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。熟练应用数学模型，将有助于促进学生抓住问题的本质，从而提高解题效率。因此中职数学教师在教学的过程中要利用数学模型对数学问题进行变式，让学生掌握数学模型，学会举一反三，融会贯通，进而高效地完成教学目标。
比如笔者在对二次函数进行教学时，引导学生通过习题练习建立二次函数的模型及应用模型，学会解决用量最省、造价最低、利润最大等问题。
问题 2：某酒店有 100 间客房，每间客房房租均为 80 元每天，每天客房住满无剩余。现酒店管理?T想提高房租价格，若每间房租提高 10 元，客房租数会减少 5 间。不考虑其他因素，若想要酒店的收入最高，房租应定价多少？
这道习题是考查二次函数的典型例题，可设总收入为 y，房租提高 x 个 10 元，那么 y=（80+10x）（300-5x），然后求此二次函数最大值及其对应的 x 值，则酒店收入最高时的房租即为80+10x。为了让学生学会熟练构建二次函数的定价模型，笔者对该问题进行了改编：某杂志以每本 10 元价格出售，可售出 2 万本，价格每提高 1 元则售出量减少 1000 本，为获得最高收入，该杂志应定价为多少元一本。改编后的问题与之前问题为一类，可以通过原例题中构建出的数学模型顺利求解，通过这样变式练习，学生能够进一步深入理解并掌握二次函数的定价模型。
在上述教学活动中，笔者通过进行习题改编，引导学生进行变式练习，使他们能够自我挖掘并构建数学模型，很好的渗透了数学建模的思想。
（三）链接生活，强化应用
陶行知先生曾提出过“生活即教育”的教育理论，主张教学要与生活实践相结合。教师授课时也应当从生活实践出发，通过链接生活中的具体例子，将生活引入课堂。教师可以引导学生从生活原型中构建数学模型，实现理论与实际的统一，提高学生的数学素养，实现素质教育。
比如学习《函数》这一章节的内容时，为了让学生体会到函数模型在生活中的巨大用处，笔者联系生活设计问题，引导学生探究并构建数学模型。
笔者首先讲到：“同学们应该都知道贷款这一借款方式吧，现在很多的车贷、房贷一族，都是通过向银行贷款并分期按时偿还本金及利息实现的，同学们就业后很可能也会去向银行贷款，那你们想不想了解贷款呢？”这个与生活息息相关的话题成功引起了学生的兴趣与求知欲，接下来笔者布置任务引导学生进行探究： 问题 3：小明准备购买一辆轿车，需向银行贷款 8 万元，按复利计息，已知年利率为 8%，贷款期为 10 年，小明每年稳定可有 9000 元的?Y余，若按年计息并还款，小明是否具有偿还能力？
由于贷款+利息总额=还款总额，所以可以列方程为：8（1+8%）10=x（1+8%）9+x（1+8%）8+…+x=，最后解得 x=1.2，即每年结余 1.2 万元时才具有足够的偿还能力，小明目前不具有偿还能力。接下来笔者让学生总结出这一贷款方式的数学模型，学生通过分析、思考与讨论，最终得到了正确结论：a=（1+r）n=x（1+r）n-1+x（1+r）n-2+…+x，x=，其中 a为借款总额，r 为年利率，n 为偿还期，x 为每年最低的结余。
在上述教学活动中，笔者通过联系生活实际引导学生构建数学模型，实现了教学的生活化，激发了学生应用建模思想解决实际问题的意识，取得了很好的教学效果。
（四）结合专业，深化发展
教师在进行教学时应当善于以中职生的专业背景为基础创设问题情境，通过结合专业课中的数学问题介绍建模方法，切实让学生感受到数学的魅力与重要性，引发他们对数学的重视，深化其发展。
比如笔者在对机电专业、数控专业的学生进行教学时，非常注重培养学生作图和用三角函数计算的能力。在《三角函数》这一章节的教学中，笔者要求这些专业的学生较旅游、汉语等专业的学生要更加深层次的掌握，这一章节的教学课时也会相应的加大。此外，笔者在教学时还会根据学生的专业课内容设计三角函数问题引导学生计算与练习，结合其专业渗透数学建模的思想。例如笔者在对机电专业进行三角函数教学时，设计如下练习：
问题 4：直径为 20cm 的滑轮，每秒旋转 45°，求滑轮上一点 5s 内转过的弧长。
，5s 内转过的弧度为：，弧长=弧度×半径=，学生通常在弧度制与角度制的转化上存在一定的困难，通过联系学生专业知识设计习题，不仅进一步巩固学生对知识的理解，而且能够强化应用。
在上述教学活动中，笔者通过结合学生专业进行数学建模的教学，不仅向学生渗透了数学建模是思想，而且能够为他们的专业知识打好基础，通过灵活的教学方式，实现了高效的数学课堂。
综上所述，教师在教学时，通过引导探究、习题改编、链接生活、结合专业这四种策略，能够有效地在中职数学课堂中渗透数学建模的思想，引导学生学会通过构建数学模型求解问题，提高解决问题的能力，进而提高教学的质量，构建高效的中职数学课堂。
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