面向工程教育的离散数学教学改革探讨
文章编号：1672-5913（2017）05-0038-04
中图分类号：G642
0 引 言
《华盛顿协议》是国际上最具权威性和影响力的工程教育互认协议之一。我国于2013年加入华盛顿协议，成为其预备成员，2016年成为第18个正式成员。工程教育专业认证强调以学生为中心，以学习产出和学习成果为目标导向，通过质量监控和反馈机制持续地对教学过程进行改进，促使教育质量的改善和提高[1-2]。
我们遵循工程教育的理念，制定可量化的考核方式，通过“评价―反馈―改进”的循环过程，持续改进教学质量。我们以离散数学课程的工程教育实践为切入点，对课程教学模式做了改变和尝试，提出了课程达成度计算模型。在教学实践中，通过SPOC（小规模限制性在线课程）和翻转课堂的结合，引入与离散数学知识相关的工程问题和实例，着重培养学生解决复杂工程问题的能力。在教学阶段，逐项收集各种教学信息，对教学效果和教学质量进行数据分析和研究，持续改进和提高教学方式。
1 课程达成度与指标点
对于软件工程专业，工程教育的培养目标是培养软件工程领域高层次的软件研发、管理和技术服务人才。在工程教育的实施过程中，不断积累学习和教学数据，借助数字化技术计算学习成果的达成度[1]。在教学体系上，采用自顶向下的方法，建立层次化的达成度评价模型：第一级为课程达成度，第二级为毕业要求达成度，第三级为培养目标达成度。下一级的达成度支撑上一级的目标，以此建立培养目标、毕业要求和课程之间的数字化对应关系。
宏观上，达成度的评价最终分解为对学生学习过程的全程跟踪和持续性评估。软件工程专业整个培养体系划分为9条培养目标（PO）和12条毕业要求（GR），每项毕业要求再细化为多个指标点。在微观上，课程的达成度支撑了对应毕业要求的指标点。首先以毕业要求指标点确定课程的教学目标（CO）；然后，教师根据对教学目标的分解确定每个课程目标的权重（W），课程目标权重反映了该课程教学和达成度评价的侧重点。课程教学目标的达成度基于所选取的考核评价方式（平时作业、期中考试、期末考试等）来进行计算。计算公式如下：
C = ∑（COi × Wi ）， COi = ∑（Tij ×wij ） （i = 1， 2，…， n； j = 1， 2，…， m）
式中： C?槟趁趴纬痰拇锍啥燃扑阒担?COi 为某门课程第i个课程目标的达成度计算值。Wi为某门课程第i个课程目标达成度的计算权重系数；Tij为某门课程第i个课程目标在第j种考核方式中的达成度计算值；wij为第i个课程目标在第j种考核方式中的权重系数。
离散数学作为软件工程专业的基础理论课，其支撑的毕业要求包括：
（1）GR1.4：掌握专业知识，能选择恰当的数学模型描述复杂软件工程问题，能对模型进行推理和求解。
（2）GR12.2：掌握自主学习的方法，了解拓展知识和能力的途径。
根据毕业要求的指标点设置4项课程目标和3个教学模块（CM），主要包括：CO1掌握离散数学的基本思想和概念；CO2培养严格的逻辑推理能力；CO3训练抽象思维能力；CO4培养处理离散信息及工程应用的能力；CM1集合与关系、CM2数理逻辑和CM3图论。课程目标、教学模块和考试考核点的对应关系见表1。
在期末考试后，采集每个学生每道题目的得分成绩，选定考核点，依据题目的预期值（即每道题目的分数）和达到值（即每道题目的实际得分）计算课程教学目标的达成度：
COn = ∑ （COn考核点预期值 / COn考核点达到值），n = 1， 2， 3， 4；
课程达成度= CO1 ×0.4 + CO2×0.2 + CO3×0.2 + CO4×0.2
由以上达成度计算可以看出，离散数学支持多个毕业要求指标点的达成。课程目标的达成情况就是该课程预期要达到的学习效果，同时也是本门课程对专业培养目标的贡献。
2 教学信息采集
工程教育专业认证要求通过采集和分析学生的学习过程和学习效果来证明学生能力的达成度。所有这些达成度的证据都建立在各种记录数据和文档的基础上。除了传统的结构化数据（如考试成绩和考勤记录），工程教育中更强调通过实际的工程训练来培养学生解决复杂工程问题的能力。这就需要通过多种方式来收集每一个学生在学习过程中的微观表现，如课堂、作业、邮件、实习等，以此来了解学生的学习状态，建立持续改进的达成度评价体系。
课堂上，教师采用移动教学方式，根据课堂教学内容和教学效果，选取题库中相应难度的题目，将题目发给每个学生（如手机、平板），学生的解答则通过移动网络反馈到教学数据采集系统。课后以邮件和网上答题的方式来收集学生的学习情况。课后的作业和综合性练习主要是证明题目和主观性题目，以评分表分析法建立量规[3]。量规为主观性题目或其他表现（比如证明的步骤、细节、表达等）确定量化标准，从优到差详细规定评级指标。同时，采取老师评分、同学互评、助教评分的方式进行综合性学习评价，填写学习评分表。重点获取学生的答题情况（非结构化信息），包括：每题选择了什么选项，花了多少时间，是否修改过选项，做题的顺序有没有跳跃等，全面地反映学生的学习过程和状态。
在课程内容方面，对知识体系进行梳理，将课程知识按照知识点模块进行数字化，并且将多门相关课程联系在一起，建立面向问题的知识网络。例如，将图论与数据结构中的树和图进行关联和比较；把等价类的概念与软件测试方法相结合来分析软件开发问题。基于实际软件项目构建对应于课程内容的知识图谱和知识数据库。通过引入工程领域的离散问题，分析问题中出现的各种实时性数据、工程化数据和研究性数据，将其分类存储于问题数据库和练习题库，为考核评估提供支持。 3 课程教学改革
在工程教育的指导思想下，离散数学课程除了向学生描述理论知识“是什么”和“为什么”以外，更注重让学生学会“如何运用”理论知识，以解决在软件开发中出现的各类问题。改进已有的教学方式，一方面，在课程内容上打破原有专业课程的讲授模式，结合实际工程问题，按照CDIO工程教育理念开展课程建设[4]。另一方面，采用问题驱动的教学方式[5]，通过录制SPOC [6]和实施翻转式课堂教学，指导学生参与离散工程问题的分析、研究和解决方案设计。
3.1 翻转课堂
翻转课堂是一种“以学生为中心”的新的教学模式[7]。它关注学生的个性化学习和成长，能更好地实现工程教育的能力和素质培养。实施翻转课堂，首先建立离散数学课程的知识图谱，以思维导图的方式构建整体的知识框架；然后，逐步细化每个章节的内容，对概念性知识（如集合、关系的概念）和过程性知识（如逻辑的推理、关系性质的判断与证明）进行梳理，按照不同的教学方式进行组织和关联。
概念性知识划分为5个难度级别：A简单、B适度、C较难、D困难、E综合。对于简单和适度的概念按知识点划分单元模块，制作8～10分钟的教学视频。例如，将集合论的发展历史、集合的基本概念等内容以时间线（storyline）的方式展示给学生。在制作SPOC视频时，不仅讲解知识，还突出理论知识的文化观念和内涵。而对于难度较高的内容，如析取范式、合取范式等，则安排在课堂上进行讲解。
对于过程性知识，例如，布置给学生的课后作业：“证明某个关系R是集合A上的一个等价关系”，将批改作业的过程和演示证明的步骤录制为视频。在视频中，逐项讲解解题的思路（如何使用等价关系的定义进行证明）、学生解题中出现的各种问题（如对称和传递关系的理解偏差，不恰当使用等）以及需要注意的关键地方（如自反性、对称性、传递性都需要证明，证明才完整）等解决问题的思考过程和经验。通过SPOC实现体验式教学，让学生能从任务的求解指导中学会如何应用所学到的知识。
采用问题引入、分析求解、过程探讨、理论构建的步骤完成SPOC视频制作。以命题逻辑的讲授为例，视频以断案推理的例子（如神探夏洛克）开始，吸引学生的注意力，将现实中的问题与命题、逻辑、推理等知识联系起来，把问题进行拆解分析，逐步归纳总结出概念和知识点，纳入学生已有的认知结构，让他们更加积极主动地投入到自主学习中。
在课前，要求学生根据前次课布置的学习任务观看微视频，通过自主学习和思考，理解基本概念，完成一定有针对性的小测验。在课堂上，采用如下多种教学方式：
（1）引导式教学。如在讲解主析取范式和主合取范式时，让学生思考“如何找到主合取（或主析取）的极大项和极小项”，提示学生考虑采用建立树结构的方式来求解。
（2）体验式教学。给出真实的任务情境，让学生协同完成某一项任务；或现场对某些有争议的问题进行研讨，并且相互展示学习成果，实现同伴互评。例如，让学生编写一段程序，要求对函数的参数进行检查，由此把命题逻辑与程序检查中的断言相对应进行讲解；把等价类的划分与面向对象中类的概念进行类比介绍。
（3）互动式教学。如课前以墨经中的“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”和“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”，引出充分必要条件的知识，指导学生完成对命题联结词知识点的复述，命题公式的化简等练习；期间，老师回答学生提出的问题，对每位学生进行个性指导，并参与讨论。
通?^引导和检查学生的学习效果，把握学生的学习状态和学习进度。
对于工程素质和能力的培养，一方面，将课程的知识点分别对应到软件开发的各个阶段，如将数理逻辑对应编程实现、将集合和关系对应数据库的构造、将树和图对应数据结构的设计，把理论知识运用到软件开发实践中；另一方面，根据学生的个体学习需求，加入具有一定难度的工程任务和开放性课题，让学生可以根据自身情况进行自由选取，如结合图论最短路径的知识点，将2016年华为软件精英挑战赛中的问题“未来网络?寻路”引入教学讨论，鼓励学生积极参与类似的具有研究性质的挑战。
3.2 教学数据分析
工程教育关注学生完成学习的过程，因此对教学活动中的各类数据，如教学目标、教学内容（知识点、重点、难点）、常规练习、挑战性练习等，进行量化，并建立彼此之间的联系。采用成绩分析法[8]，细分教学目标和教学模块，按照支撑毕业要求的指标点进行数据采集、计算均值、方差、信度、效度等统计参数，在评价每个指标点达成度的基础上，获得课程掌握情况的评价结果[9]。
利用学生学习的行为档案创建自适应的学习系统，反映学生的学习效果。利用学生“如何”学习的信息，依据教学数据的分析结果，为学生量身定制适合学生的个性化练习。通过分析学习数据，自动创建一系列难度逐渐增加且互相关联的问题，例如，从集合到关系、从关系到特殊关系、从特殊关系到树结构，让学生围绕一个共同的知识点来求解问题，从中分析学生的学习模式。同时，老师根据自己的教学需要来调整教学任务，例如，给课堂练习和作业规定完成的时间，让移动教学系统在“自动计时”的情况下，考察学生的学习过程；而在学生做错题目需要帮助时，系统自动给出提示并确定问题出错的位置。系统记录学生的学习过程，包括在哪个知识点的学习上遇到了问题、哪些习题完成花费时间较长等。老师对这些数据进行分析，建立相关的教学模型为学生推荐更为合适的学习路径。
确保教学数据的正确性、可用性是进行教学数据分析的关键。制定教学数据检测体系和软件系统对数据进行实时的检测以保证数据的质量，尽可能减少对数据分析和挖掘带来的不利影响。首先制定各种数据的录入和维护规范，最大限度地自动录入各种结构化和非结构化数据，包括考试成绩的每项评分、主观评价打分等。其次，制定数据检测规则并实现自动检测，应用不同的数据配置策略，对静态、动态数据进行实时监控和定期检查以发现并处理有问题的数据。最后，建立可靠的教学数据质量评估体系，通过各种评估方法，如基于异常值的评估方法、逻辑性评估方法等，对数据质量的改进效果进行评估，为数据质量改进提供策略。此外，还需要实现缺失数据的完善、筛选等数据处理工作，将数据标准化、去重复化，最后形成规范化的格式。
4 结 语
工程教育以培养学生的素质和能力，评价学习成果或产出作为核心标准。学院对软件工程专业全面开展工程教育，建立全覆盖的工程培养体系和量化的培养目标，并通过了2016年11月的评估。笔者在此基础上，针对专业培养目标，改进了离散数学课程的教学模式，按照工程问题重新划分教学知识点和知识结构，设定了课程的达成度计算模型。在教学过程中，结合SPOC课和翻转课堂，收集和规范各方面的信息和数据；建立教学数据分析库，逐步开展学生学习路径、习题考评模式、错误答题模式等问题的研究，以此作为学习问题诊断、教学干预和教学决策的重要参照。
