案例教学在《概率论与数理统计》课程改革中的研究与探索
中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）11-0262-02
引言
概率统计是研究随机现象统计规律性的一个数学分支，它的理论和方法的应用几乎遍及多有的科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中，可以说现代社会的生产生活都离不开概率统计的知识。正如法国数学家拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上都是概率的问题”。因而在概率统计的教学过程中，如何利用课程本身的特点及特用的思维方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率，增强学生的随机思想和实际应用能力，就显得尤为重要。
一、案例教学法
案例教学法最早可追溯到古希腊时代，著名的哲学家和教育家苏格拉底的问答式教学被认为是案例教学法的朴素形式，而案例教学法真正作为一种教学方法的形式和运用是在20世纪初美国哈佛大学的医学院和法学院得以应用，通过实践证明案例教学法是一种具有启发性、实践性并有利于提高学生应用能力和综合素质的教学方法[1]。案例教学法是指通过提供一个真实的或模拟的具体情景，有选择的把问题呈现出来，让学生身处其中，在老师的引导下，对案例进行阅读、思考、分析、讨论和交流，从而启发学生发现和解决实际问题的能力。这种教学法注重以学生为主体，目的就是培养学生的自主学习能力、实践能力和创新能力。简而言之“案例教学”就是指在教学时要从问题到理论，再从理论到应用，而不是从概念到概念、从理论到理论[2]。
二、概率统计教学过程中应用案例教学法的必要性
概率统计是教学大纲中必不可少的一门公共基础课，作为一门数学类课程，它有数学类课程的所有特点：逻辑性强、概念抽象、枯燥难学。不少学生在刚开始学习概率统计，尤其是初遇古典概率时，很有兴趣，又能够联系实际主动思考，但是随着后续知识中公式、定理的逐渐增多，枯燥的公式让学生逐渐失去学习的兴趣。此外，概率统计的思想方法来源于生活，教学中应处处有案例，从贴近生活或与学生专业相关的问题入手，用身边常见的现象和例子说明问题，从问题到理论，再从理论到实践应用，在激发学习热情的同事，不断强化实践意识，提高学生分析和解决问题的能力，还可以拓展视野，从而提高学习兴趣和效率[3]。
目前，概率统计教学中普遍存在的问题是：重理论、轻实践；重运算技巧、轻数学思想。使学生学过课程后，只会考试，不会运用，偏离了学以致用的教学理念。因此，在概率统计教学过程中，应注重理论与实践相结合，加强应用性教学。而与传统教学方法相比，案例教学法具有明显的优势，具体包括：①有利于提高学习趣味性；②有利于调动学生学习的主动性；③有利于提高学生的语言文字表达能力；④有利于培养学生交流和合作的意识；⑤有利于实现教学相长[4]。案例教学法可以充分调动学生学习的主动性和积极性，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，从而达到教学的目的。综上所述，我认为在学习过程中，选取经典、有趣且与课程内容结合紧密的实际问题，通过案例教学启发学生独立思考问题，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力和知识的运用能力。
三、案例教学法在概率统计教学中的应用实践
案例教学法可以贯穿概率统计教学的始终，大到专题讨论，小到每道例题，都可以使用案例教学法。下面简单介绍两个有趣的典型案例。
案例1 针对古典概率和数学期望的定义，引入随机概率史上著名的“赌金平分问题”[5]。
赌徒A和B的赌技相同，各出赌注6个金币，约定：谁先胜三局，则拿走所有的12个金币。现已赌了三局，A两胜一负因故要终止赌局。问这12个金币如何分才算公平？多数学生会按照已胜局数来分配，即A拿走2/3，B拿走1/3，教师引导学生进行深入分析，发现这样的分配方式不太合理，如继续赌局，结果会有如下4种：AA（表示两局都是A胜，后面类推），AB，BA，BB，那么发现前3种结果都是A先胜3局，得12枚金币，只有最后1种结果是B获胜，得12枚金币，因此，A和B最终获胜的概率分别是3/4和1/4，合理的分配方式是：A分得9枚金币，B分得3枚金币。
转换思路，若引入一个随机变量X，X表示继续两局赌局后，A的最终所得，则X有两个可能的取值：12和0，其概率分别是3/4和1/4，故A的期望所得应为：12*3/4+0*1/4=9，即X的“期望”值等于：X的可能值与其概率之积的累加，值就是“数学期望”名词的由来。
案例2 “三门问题”[6]
美国20实际70年代曾经有过这样一个电视节目，在节目中，节目参与者将在3扇门之间选择一扇门，这3扇门中有且仅有一扇门后面有奖品，当节目参与者选定一扇门之后，主持人就会打开另外两扇门中没有奖品的一扇门，然后问参与者：“是更换还是坚持”。这是，大多数人会凭直觉认为，剩下的两扇门中，每扇门后有奖和没奖额概率各占一半，因此无需改变选择。但从概率角度分析，就会得出截然相反的结论。原因在于：在最初的选择中，参与者选择正确的概率是1/3，后面两扇门选择正确的概率是2/3。这里的奥秘在于，当其中一扇门被主持人打开确定没有奖品后，这2/3的概率都集中到另外一扇没被参与者选中的门上，而不会与参与者选中的门再次进行二次概率分配。这就是说，如果参与者改变自己最初的选择，获奖的概率是2/3，而不改变最初的选择获奖的概率仅为1/3。 这个问题也叫蒙提霍尔悖论。在概率论中这样的悖论还有很多，如辛普森悖论、贝特朗箱子悖论等，通过对这些案例的研究，能加深学生对概率统计的思想和原理的理解，增强学生对知识的运用能力。
四、案例教学法在概率统计教学中存在的问题
尽管案例教学法已经被运用开来并取得了一定的效果，但从整体来看，概率统计的案例教学在实施中还存在着一定的问题。
首先，缺乏配套的案例教材。案例是实施案例教学法的支撑，实施案例教学法就需要大量的与各专业教学内容匹配的案例，目前的现状就是缺乏合理有效的案例。
其次，案例教学法对教师提出了更高的要求。教师要收集与专业背景相关的案例，要具备较强的分析和解决实际问题的能力，还要对学生在案例分析讨论中具有较强的驾驭能力。这就需要教师不断的提高自身的理论水准、实践能力和综合素质。
再者，案例教学法对学生也提出了很高的要求。案例教学法重视实践，重视具体问题具体分析，不主张学生死记硬背，更重视思维能力、分析能力和判断能力以及运用理论知识处理现实问题能力的培养。这就需要学生要有自主学习、主动思考、联系实际的思维和习惯。
五、结语
在《概率统计》教学中运用案例教学法，它的实施从教学内容、教学形式、教学方法和手段上都是对传统教学模式的一种发展和补充，它充分发挥了教学互动的优点，体现了学生的主体地位，锻炼和提高了学生主动思考、分析、解决问题的能力。可以说 “一个出色的案例，是教师和学生就某一具体事实相互作用的工具；一个出色的案例，是以实际生活情景中肯定会出现的事实为基础所展开的课堂讨论。 它是进行学术探讨的支撑点；它是关于某种复杂情景的记录；它一般是在让学生理解这个情景之前，首先将其分解成若干成分，然后再将其整合在一起。”[7]案例教学法就是通过这样的过程，增强学生的动手能力，缩短理论与实际问题之间的距离，培养学生的创新精神。
