线性代数教学中M3+2教学模式的应用
【中图分类号】G40－012 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）12－0029－03
【Abstract】This article elaborates M3＋2 teaching pattern in linear algebra, analyzing differences between M3＋2 teaching and traditional teaching pattern, pointing some problems when using M3＋2 teaching pattern, and introducing specifically application of the M3＋2 teaching pattern in linear algebra by PAJEK and MATLAB software as “square matrix characteristic values and characteristic vectors” for example.
【Key words】M3＋2 teaching pattern PAJEK software MATLAB software Interesting of study
线性代数是高等院校理工科各专业学生的一门必修课程，但由于该课程具有较高的抽象性及较强的逻辑性，使得学生在学习线性代数这门课程时，缺乏积极性和主观能动性。如何充分调动学生学习线性代数的兴趣，一直是人们努力探索的问题。笔者认为，M3＋2教学模式在调动学生学习兴趣方面具有重要作用，如果能推广M3＋2教学法，一定能在提高学生素质和培养学生创新能力方面收到积极效果。
一、M3＋2教学法的定义
M3＋2教学模式是一种综合教学法。其中M代表数学英文单词Mathematics中的首字母；“3”代表三种教学方法，分别是案例式、启发式和归纳式教学法；“2”代表两种教学方式，分别是多媒体与板书相结合、数学试验与数学软件相结合。这里的数学软件包括Matlab、Mathematica等常用软件。
案例教学法是以案例为题材，在教师的指导下，运用多种方式启发学生独立思考，从而达到教学目的的一种教学方法。线性代数中的案例通常是指与教学主要内容有关的实际问题，例如：
第一，在讲授矩阵的逆矩阵时，可以通过密码的编译及破译问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
第二，在讲授矩阵的特征值与特征向量时，可以通过Google搜索网页的排列顺序问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
第三，在讲授正交矩阵时，可以通过结构化学中原子轨道的杂化问题作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
第四，在化二次型为标准形时，可以通过空间曲面（球面、椭圆抛物面及马鞍面等等）作为引入，讲授相关内容后再解决该实际问题。
启发式教学法是教师在教学过程中依据学习过程的客观规律，引导学生主动、积极、自觉地掌握知识的教学方法。它是以激发学生的积极性和主动性为起点，让学生开动脑筋、积极思维、主动实践，从而掌握知识、技能、发展智力，形成一定的观点。线性代数教学中启发的方式有置疑启发，又称问题启发；直观启发，包括演示启发、比喻启发以及练习辅导启发。
归纳式教学法是对一系列个别的具体例证或实际数据进行分析和讨论，概括总结出一般性结论的逻辑推理，从而达到教学目标的一种教学方法。线性代数中常使用的归纳方式有：根据教材教学内容的系统性进行整体归纳，使学生了解教材内容的概貌；根据同类型教学内容进行横向归纳，使学生正确理解所学基本概念和尽快掌握所学基础理论；对相互关联的教学内容进行纵向归纳，使学生能融会贯通所学基础理论；根据教学内容的不同之处进行差异归纳，使学生正确理解所学基本概念和基本理论。例如，对角矩阵对角化的三大步骤可以迁移到用正交变换法化二次型为标准形中去，这是横向归纳。
二、M3＋2教学模式与传统教学模式的比较
由于M3＋2教学模式是一种综合教学法，与灌输式的传统教学法相比，他们之间有明显的区别，本文从以下三方面进行分析：
1．教学过程的主体与沟通方式不同
传统的教学方法，主要是教师采取原理加例证方式对所授知识进行讲解和说明，教师是整个教学过程的主体。这种教学方法的积极之处是教师可以在有限时间内传授较大量的知识，节约时间，知识传授数量较高。但由于教师处于主导地位，由教师向学生灌输知识，学生只是被动的接受者，因此学生对知识不能深刻的理解。M3＋2教学模式则是由老师提出实际问题，学生自己主动分析解决问题所需要的条件；整个教学过程中，教师是一个引导者，学生则是主体。在沟通方面，M3＋2教学模式可以启发引导学生自己去求索知识，实现相互启发、充分互动，最后再加以归纳。这样获得的知识，理解深刻，掌握全面，应用领域也比较广泛。
2．学生学习积极性主动不同
传统教学模式之下，是教师向学生灌输知识，学生则是被动接受知识，没有主动性，也无法提起他们学习的积极性。同时，传统教学法学生只需被动的接受知识和认真理解记忆便可，无须进行积极的准备，不能给学生以足够的激励。因此，学生的求知状态是消极被动的，心理准备状态也不是积极主动的。而M3＋2教学模式则不然，它由教师向学生提出问题，要求学生通过阅读资料，寻找解决问题的原理和方法，最后进行交流互动等活动。如此，一方面，让学生主动积极的参与学习，激发了学生学习的兴趣；另一方面，训练了学生分析问题和解决问题的能力。
3．教学目的和教学效果不同
传统教学主要侧重于知识传授，学生理解、掌握了知识便达到了教学目的。另外，教师只一味地传授，所以教学效果不佳。而M3＋2教学模式不是给学生直接讲授知识，而是通过生活中的实际问题让学生去思考解决问题所需要的条件，哪些条件是已知的，哪些又是未知的，注重的是得出结论的过程，强调培养学生自我获取知识、综合应用知识的能力。这有利于培养学生的创新意识、创新思维和创新素质。
三、实施M3＋2教学模式应注意的问题
实施M3＋2教学法时，教师应该重点把握以下三个环节：
1．精选教学案例
M3＋2教学模式以案例作为教学的起点，所以选好案例是搞好M3＋2教学的前提和基础。教师在选择案例时要注意以下四点：①相关性。选择案例的目的是使学生加深对所学理论知识的理解和运用理论知识解决实际问题的能力，因此，所选案例必须符合教学目标。②可信性。所选案例要来源于生活实际，而不是胡编乱造的。③典型性。案例的典型性要求紧密围绕所要传授的核心内容和基本理论选择一些有代表性的案例，以达到使学生加深理解基本理论的目的。④广泛性。所选的案例应来源于不同的学科领域，以扩展学生的知识面。
2．抓住学生学习心理，进行适时的课堂启发。
学生学习的积极性和兴趣与他们所需要的有关。学生对新颖的、运动变化的、有应用价值的、通过努力能学会的知识感兴趣；同时，对将来考研和工作所需要的知识更愿意去学。因此，这就需要教师选择的案例能引起学生学习的兴趣或者是学生所需要的；其次，教师必须要进行适时的课堂启发引导；最后，要求教师的数学语言不仅要严谨、精练，而且课堂用语要流畅、生动、形象富有幽默感。这对学生有吸引力，能有效地激发学生的学习兴趣。
3．归纳要简洁全面
由于线性代数具有高度的抽象性和严密的逻辑性，并且定义、定理较多，因此教师要引导学生注意理解定义或定理之间的联系与区别，并能对所学的内容进行简洁全面的归纳。这样，有利于学生在学习和复习过程中的综合记忆，起到强化对事物内在联系记忆的作用，为消除学习中的混淆情况创造了条件。
四、M3＋2教学模式的应用
下面以讲授《线性代数》教学内容中的“方阵的特征值及特征向量”为例，实际应用M3＋2教学模式。具体过程如下：
步骤1：
案例（实际问题）：Google搜索网页的显示排列顺序
抽象出的数学问题：网页重要性的计算
在当今信息社会里，网络将全世界联系了起来。人们可以从网络上获得大量的信息，比如：要获得2010年上海世博会的相关信息，可以在Google搜索栏里输入“世博会”三个字，这样便可以得到大约32000000个相关的网页，提问“这些网页是按怎样的顺序排列显示的呢？”让学生思考、讨论。
其实，Google显示网页的顺序是通过PageRank排序算法得到的。
然后可以简单介绍这种算法的起源，以引起学生学习的兴趣。PageRank排序算法是由Sergey Brin和Larry Page于1998年在美国斯坦福大学创建的，他们认为衡量网页的重要性应基于两点：
（1）得票数量：得票越多，重要性越高。
（2）得票质量：评估每个投票网页的重要性，重要性较高的网页投出的票被认为具有较高的价值。
网页的投票是通过超链接产生的，若有一个从A到B的超链接，可以认为网页A向网页B投了一次票。
如果设矩阵的第i行，表示第i个网页的投票情况；矩阵的第j列，表示第j个网页的得票情况；并设每个网页所投出的票都为单位1。则在Pajek软件中，对于表1所示的超链接就可以构成一个简单的网络图1，A、B、C分别表示三个网页。
并可以得到一个矩阵 。若xk（xk≥0，k
＝1，2，3）分别表示网页A、B、C的重要性，则从矩阵B的列可以得到：在得票数量方面，网页A得到了网页C一半的投票；网页B得到了网页A一半和网页C一半的投票；网页C得到了网页A一半和网页B全部的投票；在每个网页的得票质量方面，PageRank排序算法给出了一个界于［0，1］的阻尼系数λ。这样，在综合了网页的得票数量和得票质量后便可得到衡量网页重要性的方程：
即矩阵方程Ax＝λx，其中，A＝BT，x＝（x1，x2，x3）T。
步骤2：给出方阵特征值及特征向量的定义。
定义：设A是一个n阶方阵，如果数λ和n为非零列向量x使关系式Ax＝λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零列向量x称为方阵A的对应于特征值λ的特征向量。
步骤3：引导学生对方阵的特征值及特征向量定义进行剖析和说明。
（1）特征值是对方阵而言的，特征向量不等于0。
（2）对方程Ax＝λx变形得到（A－λE）x＝0，它是一个齐次线性方程组。所以，n阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组（A－λE）x＝0有非零解的λ的值。此时启发学生回忆齐次线性方程组（A－λE）x＝0有非零解的条件，并让学生回答（ ）。由此引出方阵的特征方程及特征多项式的定义及数学表达式。
步骤4：归纳求方阵特征值及特征向量的步骤。
让学生根据自己的理解，归纳求方阵特征值及特征向量的方
法和步骤，老师加以补充和完善。
（1）计算方阵A的特征多项式det（A－λE）。
（2）求出特征方程 的全部解λ1，λ2，…，λn，它们就是方阵A的全部特征根。
（3）将特征值λi（i＝1，2，…，n）代入齐次线性方程组（A－λiE）x＝0求出其非零解，此解就是对应于特征值λi（i＝1，2，…，n）的特征向量。
步骤5：举例说明方阵特征值及特征向量的求解。
列举的例子要有代表性，可以是二阶或是三阶的方阵，但必须要考虑到方阵的特征值全为实数，包含全部不相等和部分相等的情况，也要考虑到方阵的特征值为复数的情况。
步骤6：介绍利用MATLAB7.0软件计算方阵特征值及特征向量的方法。
利用MATLAB7.0可以很方便地计算出方阵的特征值及特征向量，命令为[V,D]=eig(A)。它得到的矩阵D中主对角线上的元素为方阵A的特征值，矩阵V是由特征值所对应的特征向量作为列构成的。
步骤7：求解引例“网页重要性的计算”。
在MATLAB7.0中输入命令[V,D]=eig(A)可求出矩阵
的特征值为：
λ1＝1，λ2＝－0.5＋0.58×10－8i，λ3＝－0.5－0.58×10－8i
λ1＝1对应的特征向量为（0.3714 0.5571 0.7428）T。
所以，x3所表示的网页C首先显示出来，其后便是x2所表示的网页B，最后是x1所表示的网页A。λ2、λ3不在考虑范围内。如果几个特征值都在［0，1］范围内，则PageRank排序算法会根据管理人员预先设定的λ的值来排序显示，一般取接近该阀值的特征值所对应的特征向量作为排序的数量指标。
步骤8：讲解方阵特征值及特征向量的性质。
步骤9：进行小结。
总结本节课所讲授的重、难点内容和设计思路。使学生对本节课的内容有一个清晰的完整的印象。
这样，通过M3＋2教学法的实施，学生的学习兴趣高，学习氛围浓，学习效果好，很好地达到了本节的教学目标。
