线性代数课程教学探讨
1 对知识结构的合理调整
针对线性代数课程课时比较紧张的现状,同时结合学生对知识的接受规律,对一些章节的讲授做了适当调整。首先,对于相对比较抽象而冗长的证明,主要布置给学生作为课后作业进行阅读和理解,让学生主要以了解证明思路为主,例如代数基本定理的证明,矩阵的行秩与列秩相等等问题和定理的证明。其次,教材中所有带*号的内容都不在课堂上讲授,把那些相对重要的内容作为学生的课后读物,例如最小多项式以及λ―矩阵相关内容。同时,把第四章等的内容进行调整,把初等矩阵的知识放在分块矩阵的前面,主要是希望学生能通过初等矩阵的学习,了解矩阵的行或列的整体性,从而帮助学生理解分块矩阵。
2 充分挖掘和利用知识点的关联
线性代数知识以线性代数理论为重点,而在线性代数中,矩阵理论是核心,所以以矩阵理论为主线,线性代数各知识点之间有着密切的关联。如何利用这些知识点的关联帮助学生理解线性代数的知识结构是线性代数教学的关键,在实际教学中,可以抓住以下几个关系:
2.1 向量理论与矩阵理论的关联
向量可以看作只有一行或者只有一列的矩阵,同时矩阵的行或者列都分别可以看作行向量或者列向量,于是矩阵就可以看作一个行向量组或者列向量组;反过来,一个向量组又可以“拼凑”成一个矩阵。抓住这样的关系,向量与矩阵的知识就可以相互关联,例如:
例1:求向量组α=(1,0,0,a),α=(0,1,0,b),α=(0,0,1,c)的秩,其中a,b,c为任意常数。
2.2 矩阵理论与线性方程组理论的关联
矩阵理论与线性方程组理论的关联是很明显的,比如与线性方程组密切相关的系数矩阵和增广矩阵,可以通过系数矩阵和增广矩阵的秩的关系判断线性方程组的解的情况,但利用方程组的理论解决矩阵问题却经常被忽视,比如下面的问题:
例2:若AB=0,证明:r(A)+r(B)≤n,其中r(A)表示矩阵A的秩。
证明思路:首先对矩阵B进行分块得到(β,β,…,β),可得:
从而Aβ=Aβ=…=Aβ=0,这样矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组AX=0的解,由齐次线性方程组的相关理论容易证明r(A)+r(B)≤n。
2.3 其它知识点的关联
线性代数中其它知识点的关联还有很多,比如:(1)矩阵理论与线性变换理论的关联,因为任何一个线性变换在一组基下都有一个矩阵和它对应,同时线性变换的运算和矩阵运算有对应关系;(2)多项式理论与矩阵理论的关联,一个矩阵是否可对角化与它的最小多项式是否有重根有关系;(3)欧氏空间理论与对称矩阵理论的关联,等等。
3 通过思考题调动学生的思维积极性
数学的理论是抽象的,不容易引起学生的思维兴趣,要想达到一个良好的教学互动和教学效果,通常有两种做法:第一,介绍知识点的应用;第二,应用大量的思考题。下面就通过几个例子介绍线性代数课程中的思考题的设立。
在线性代数的学习中,学生对很多知识点的理解经常是片面的,这时候如果能够适当地提出一些思考题,同时纠正学生的错误回答,可以帮助学生更全面地理解知识。
(1)思考题1:f(x),g(x),u(x),v(x)∈P[x],且d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),那么d(x)是否为f(x),g(x)的最大公因式?
分析:这个问题是在学习完第一章第4节最大公因式的知识之后提出的,最初看到这个问题的时候,很多学生会认为答案为“是”,原因是学生知道f(x),g(x)的最大公因式d(x)都有表达式d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。教师最后给出否定的回答,并给出反例,让学生了解不是所有问题的逆命题都是正确的。
(2)思考题2:f(x,x,x)=(x,x,x)123132133xxx是否为二次型?
分析:这个问题是学习完二次型提出的,当最初接触二次型的知识的时候,学生经常对这个问题犹豫不决,主要原因是学生了解二次型的矩阵是对称矩阵,但是这个式子中间的矩阵不是对称矩阵,那这个不是一个二次型?如果我们回到二次型的定义,只要是一个二次齐次多项式,就是一个二次型。所以这个思考题的回答是肯定的,而且这个二次型的矩阵为13/223/235/225/23。最终通过这个思考题让学生真正了解二次型的本质结构就是二次齐次多项式。
思考题还可以帮助调动学生的积极性,帮助学生加强对知识的理解,更重要的是帮助学生发现新的问题,思考新的问题。
(3)思考题3:在二次型研究中,为什么我们只关注非退化的线性替换?
分析:这个问题是在学习了二次型第二节以后提出的,让学生通过对这个问题的思考了解非退化的线性替换赋予了二次型之间“相互”变化的能力,即若f(x,x,…,x)经过非退化的线性替换X=CY,|C|≠0变为g(y,y,…,y)。由于|C|≠0,C存在,则g(y,y,…,y)可经过非退化线性替换Y=CX变为f(x,x,…,x)。
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