求解不可微函数优化的一种混合遗传算法
摘 要 在浮点编码遗传算法中加入Powell方法，构成适于不可微函数全局优化的混合遗传算法。混合算法改善了遗传算法的局部搜索能力，显著提高了遗传算法求得全局解的概率。由于只利用函数值信息，混合算法是一种求解可微和不可微函数全局优化问题的通用方法。
关键词 全局最优；混合算法；遗传算法；Powell方法
1 引言
不可微非线性函数优化问题具有广泛的工程和应用背景，如结构设计中使得结构内最大应力最小而归结为极大极小优化（minmax）问题、数据鲁棒性拟合中采取最小绝对值准则建立失拟函数等。其求解方法的研究越来越受到人们的重视，常用的算法有模式搜索法、单纯形法、Powell方法等，但是这些方法都是局部优化方法，优化结果与初值有关。
近年来，由Holland研究自然现象与人工系统的自适应行为时，借鉴“优胜劣汰”的生物进化与遗传思想而首先提出的遗传算法，是一种较为有效的求不可微非线性函数全局最优解的方法。以遗传算法为代表的进化算法发展很快，在各种问题的求解与应用中展现了其特点和魅力，但是其理论基础还不完善，在理论和应用上暴露出诸多不足和缺陷，如存在收敛速度慢且存在早熟收敛问题[1,2]。为克服这一问题，早在1989年Goldberg就提出混合方法的框架[2]，把GA与传统的、基于知识的启发式搜索技术相结合，来改善基本遗传算法的局部搜索能力，使遗传算法离开早熟收敛状态而继续接近全局最优解。近来，文献[3]和[4]在总结分析已有发展成果的基础上，均指出充分利用遗传算法的大范围搜索性能，与快速收敛的局部优化方法结合构成新的全局优化方法，是目前有待集中研究的问题之一，这种混合策略可以从根本上提高遗传算法计算性能。文献[5]采用牛顿－莱佛森法和遗传算法进行杂交求解旅行商问题，文献[6]把最速下降法与遗传算法相结合来求解连续可微函数优化问题，均取得良好的计算效果，但是不适于不可微函数优化问题。
本文提出把Powell方法融入浮点编码遗传算法，把Powell方法作为与选择、交叉、变异平行的一个算子，构成适于求解不可微函数优化问题的混合遗传算法，该方法可以较好解决遗传算法的早熟收敛问题。数值算例对混合方法的有效性进行了验证。
2 混合遗传算法
编码是遗传算法应用中的首要问题，与二进制编码比较，由于浮点编码遗传算法有精度高，便于大空间搜索的优点，浮点编码越来越受到重视[7]。考虑非线性不可微函数优化问题(1)，式中
为变量个数，
、
分别是第
个变量
的下界和上界。把Powell方法嵌入到浮点编码遗传算法中，得到求解问题(1)如下混合遗传算法：
min 
(1)
step1 给遗传算法参数赋值。这些参数包括种群规模m，变量个数n，交叉概率pc、变异概率pm，进行Powell搜索的概率pPowell和遗传计算所允许的最大代数T。
Step2 随机产生初始群体，并计算其适应值。首先第i个个体适应值取为fi’=fmax - fi，fi是第i个个体对应的目标函数值，fmax为当前种群成员的最大目标函数值，i=1,2,…,m。然后按Goldberg线性比例变换模型[2] 式(2)进行拉伸。
fi’= a×fi’+b （ fi ³ 0 ） (2)
step3 执行比例选择算子进行选择操作。
step4 按概率
执行算术交叉算子进行交叉操作。即对于选择的两个母体
和
，算术交叉产生的两个子代为 
和
，
是[0，1]上的随机数，1
,
。
step5 按照概率
执行非均匀变异算子[8]。若个体
的元素
被选择变异，
，则变异结果为
，其中
，
(3)
(4)
返回区间[
,
]里的一个值，使
靠近0的概率随代数
的增加而增加。这一性质使算子在初始阶段均匀地搜索空间，而在后面阶段非常局部化。
是[
,
]之间的随机数，
为最大代数，
为决定非均匀度的系统参数。
step6 对每个个体按照概率pPowell进行Powell搜索。若个体
被选择进行Powell搜索操作，则以
作为初始点执行Powell方法得
，若
则把所得计算结果
作为子代
，否则，若
取
=
；若
取
=
，1
。
step7 计算个体适应值，并执行最优个体保存策略。
step8 判断是否终止计算条件，不满足则转向step3，满足则输出计算结果。
作为求解无约束最优化问题的一种直接方法，Powell法的整个计算过程由若干轮迭代组成，在每一轮迭代中，先依次沿着已知的n个方向搜索，得一个最好点，然后沿本轮迭代的初始点与该最好点连线方向进行搜索，求得这一阶段的最好点。再用最后的搜索方向取代前n个方向之一，开始下一阶段的迭代。为了保持算法中n个搜索方向是线性无关的，保证算法的收敛性，对替换方向的规则进行改进，在混合法的计算步骤step6中采用文[9]中的改进Powell方法，其求解过程如下：
(1) 变量赋初值
，n个线性无关的n个方向
,
,…,
，和允许误差ε>0，令k=1。
(2) 令
，从
出发，依次沿方向
,
,…,
作一维搜索，得到点
,
,…,
求指标m，使得
-
=max {
-
}，令
。若
ε，则Powell方法计算结束，否则，执行(3)。
(3) 求
使得
=min
，令
=
= 
，若
，则Powell方法计算结束，得点
；否则，执行(4)。
(4) 若
，令
，否则令
(
)，然后置
，转(2)。
