“特征信息”的捕捉与解题的最优化
出处:论文网
时间:2006-05-14
?4ax+4by+4cz≤(a+x)2+(b+y)2+(c+z)2=k2+k2+k2=3k2,
?于是,ax+by+cz≤(3/4)k2<k2,故证毕.
?可见,依定理还有意外收获,得到原式的一个加强式:ax+by+cz≤(3/4)k2.而这一加强难在传统证法中体现出来.
?例9 已知a>1,b>1,c>1,求证:
?(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥12.
?证明:依定题,知a2=[(a-1)+1]2≥4(a-1)·1=4(a-1).同理b2≥4(b-1),c2≥4(c-1),于是,(a2/(b-1))+(b2/(c-1))+(c2/(a-1))≥
4(((a-1)/(b-1))+((b-1)/(c-1))+((c-1)/(a-1)))≥4·3 =12,证毕.
?例10 设x,y为非负数,且满足x+y=1,求证:
?1+ ≤ + ≤2 .
?证明:考虑( + )2=2(x+y)+2+2 =4+2 ,或 + = ,依题知及定理,有0≤4xy≤(x+y)2=1,故 ≤ + ≤ .
?于是1+ ≤ + ≤2 ,证毕.
?定理(a+b)2≥4ab的优化解题功效远不止这些,只要留心些,读者必定还会有所发现和创新.令人振奋的是,从基本不等式a+b≥2 ,平方即可得(a+b)2≥4ab;但令人遗憾的是,a+b≥2 的应用,已是老生常谈,而(a+b)2≥4ab却少见报道.笔者试图通过本文,借以引为重视!
?参考文献
?1 丁保荣.信息与解题.中学数学教学参考,2001,5
?2 罗增儒.看透本质,优化过程.中学数学教学参考,2001,6
?3 罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社,1997
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