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数学模型中的0、1变量的使用的案例

出处:论文网
时间:2015-08-07

数学模型中的0、1变量的使用的案例

  数学优化问题在管理数学当中是一个并不复杂的问题,但是对于变量的使用,尤其是0、1变量的使用,学生们会产生很大迷惑,以下通过一些例子来讲述一下0、1变量的灵活使用。公司在各地有4项业务,选定了4位业务员去处理。由于业务能力、经验和其它情况不同,4位业务员去处理4项业务的费用(单位:元)各不相同,见右表。

  应当怎样分派任务,才能使总的费用最小?

  问题分析与求解:这是一个最优指派问题。引入如下变量:xij=1 若分派第i个人做每j项业务0 若不分派第i个人做第j项业务

  设矩阵a(4,4)为指派矩阵,其中a(i,j)为第i个业务员做第j项业务的业务费。则可以建立如下模型:

  minZ=■■aijxij s.t■xij=1 j=1,2,3,4■xij=1 i=1,2,3,4xij=0或1 i,j=1,2,3,4

  LINGO程序如下:

  MODEL:

  SETS:

  person/1..4/;

  task/1..4/;

  assign(person,task):a,x;

  ENDSETS

  DATA:

  a=1100,800,1000,700,

  600,500,300,800,

  400,800,1000,900,

  1100,1000,500,700;

  ENDDATA

  min=@sum(assign:a*x);

  @for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1);

  @for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1);

  @for(assign(i,j):@bin(x(i,j)));

  END

  得到的结果如下:

  x(1,1)=0,x(1,2)=0,x(1,3)=0,x(1,4)=1;

  x(2,1)=0,x(2,2)=1,x(2,3)=0,x(2,4)=0;

  x(3,1)=1,x(3,2)=0,x(3,3)=0,x(3,4)=0;

  x(4,1)=0,x(4,2)=0,x(4,3)=1,x(4,4)=0;

  最小费用为2100元。

  即第1个业余员做第4项业务,第2个业余员做第2项业务,即第3个业余员做第1项业务,第4业余员做第3项业务。总费用达到最小,为2100元。

  有五项设计任务可供选择。各项设计任务的预期完成时间分别为3,8,5,4,10(周)设计报酬分别为7,17,11,9,21(万元)。设计任务只能一项一项地进行,总的期限为20周。选择任务时必须满足下面要求:①至少完成3项设计任务。②若选择任务1,必须同时选择任务2。③任务3和任务4不能同时选择。

  应当选择哪些任务,才能使总的设计报酬最大?

  分析与求解:这是一个0-1整数规划问题。

  设0-1变量xi如下:xi=0 第i项设计任务未选上1 第i项设计任务被选上

  设各项设计任务的完成时间为ti(i=1,2,…,5)表示,设计报酬为mi(i=1,2,…,5)表示。则容易得到目标函数:maxZ=■mixi。根据题目要求分别列出约束条件如下:

  总期限为避免20周,则约束条件为■tixi?燮20

  至少完成3项设计任务,则■xi?叟3

  若选择任务1,必须同时选择任务2,则x2?叟x1。

  任务3和任务4不能同时选择,则x3+x4?燮1,该约束表达式表明任务3和任务4至多只能选择1个。

  因此对该问题建立的数学模型如下:

  maxZ=■mixi s.t■tixi?燮20■xi?叟3x2?叟x1x3+x4?燮1x1,x2,x3,x4=0或1

  LINGO程序如下:

  MODEL:

  SETS:

  mat/1..5/:m,t,x;

  ENDSETS

  DATA:

  m=7,17,11,9,21; !定义报酬数组;

  t=3,8,5,4,10; !定义完成时间;

  ENDDATA

  max=@SUM(mat(i):m(i)*x(i)); !定义目标函数;

  @SUM(mat(i):t(i)*x(i))<=20;!期限约束 ;

  @SUM(mat(i):x(i))>=3; !至少完成3项任务;

  x(2)>=x(1); !若选择任务1,必须同时选择任务2;

  x(3)+x(4)<=1; !任务3和任务4不能同时选择;

  @FOR(mat(i):@BIN(x(i))); !使各变量为0-1变量;

  END

  得到的解为x(1)=1,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=0,x(5)=0。最大报酬为35万元。

  即在满足各种约束条件下,选择设计任务1,2,3,可使总报酬达到最大为35万元。

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