泰勒定理论证函数性态的教学研究
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（b）-0148-02
泰勒定理是高等数学中微分学研究函数性态的主要定理，堪称教学的重中之重，也是真正的难点。对于大多数学生来说，定理的形式极为抽象，理解起来有难度。其实，泰勒公式就是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的一个公式，即如果函数足够光滑的话，在已知函数在某点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式就可以借助这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值；泰勒公式还给出了该多项式的值与实际的函数值之间的偏差。
但是，只有理解好泰勒定理，才能用泰勒公式去研究函数的性态。其实，从本质上又不难看到，泰勒定理刻画了一个事实，即一个足够光滑的函数，该函数及其各阶导数之间存在一种有机的联系；而这一联系，是通过泰勒公式刻画的。使学生理解了这一点，运用泰勒公式进行函数性态的相关讨论往往就能化难为易。
教学中教员往往强调了泰勒公式在函数值的近似计算、极限的计算等方面的应用，对于直接运用泰勒公式研究函数的基本性态则涉及较少。且这些应用往往并不从其本质出发，因而学生遇到涉及函数性态的问题往往觉得难以下手。该文结合我们长期以来在各级教学和数学竞赛指导中对泰勒公式教学的研究心得，通过典型实例阐明运用泰勒定理论证函数性态的要点及其教学方法。
1 泰勒定理与函数的性态
泰勒定理的一般形式如下：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对于，在与之间至少存在一点，使得
，（1）
其中，称为拉格朗日型余项。
从本质上而言，Taylor公式（1）描述了一个“足够光滑的”函数在处的函数值、各阶导数值之间的一种有机联系，这就使得该公式在讨论函数及其各阶导数的基本性态（比如“有界性”等）时具有非常重要的作用。
泰勒公式的物理意义可以帮助学生加深对上述本质的理解。在式（1）中，如果用表示时刻时质点的位移，则左侧代表质点的运动规律；如仅取右端前三项，则代表质点的初始位移，则代表其初始速度，代表初始加速度，右端刻画了运动，与左端刻画的运动相比，二者至少在初始时刻，对应的位移、速度和加速度都一样。因此，如果将左端的理解为质点“本来的”运动，而将右端理解为“估计的”运动，则当时对应的泰勒公式既可以视为在时刻附近对所代表运动的一种近似刻画；更根本地，它也表明了该质点的位移、速度、加速度等重要运动特征的有机联系。至于拉格朗日型余项则代表了这种对位移作“近似刻画”的偏差，这只是由于忽略了更高层次的运动形式所致。对于更高阶形式的泰勒公式，教员也可以作类似的阐释。实践表明，上述做法能吸引学生的兴趣，收到好的教学效果。
理解了泰勒定理的本质，运用它进行相关问题的论证就水到渠成了。我们在教学实践中还通过对函数及其各阶导数的有界性等基本性态的讨论，来深化学生对上述本质的理解，使学生能用泰勒公式去化解实际问题中的困难，化难为易，“内化”对其本质的理解。
2 运用泰勒定理论证与“有界性”相关的问题
为让学生更好地理解并掌握泰勒定理，我们通过习题课，精心选择典型实例，来阐述Taylor公式在研究函数及其各阶导数基本性态方面的应用及解题要点。
例1设函数在内二阶可导，且和在内有界，证明：在内有界。
分析：教员首先分析，解题的关键在于如何选取公式（1）中的和，将中与、之间的关系揭示出来。
证明：依题意，存在，使得，均有
。
由于函数在任意有限区间满足泰勒定理的条件，因此，在泰勒公式中将和分别取为和，可得
，
其中，。由上式可得，故
，即在内也有界。
将例1说明白讲透彻，就能使学员意识到，一个足够光滑的函数，刻画其性态的、和之间竟然还有如此密切的关系。进一步，教员再问：如果更光滑、在内三阶可导，又有什么类似的结果呢？教员再适时出示如下问题。
例2设函数在内三阶可导，且和在内有界，证明：和在内均有界。
分析：希望像例1那样通过泰勒公式刻画、、和之间的关系，但根据问题的特点，需要分别将中与、之间以及与、之间的关系揭示出来。因此，解题的难点在于如何获取这种关系，即如何选取泰勒公式中的“特殊点”和，以分别得到和的“合适的”表达式。
证明：依题意，存在，使得，均有
。
由于函数在任意有限区间满足泰勒定理的条件，因此，在泰勒公式中将和分别取为和，可得
，
再在泰勒公式中将和分别取为和，可得
。
两式相加，整理可得
，从而就有
。
类似地将两式相减，最后可得。
上述两式表明，和在内均有界。
通过例2的进一步强化，就能使学生对泰勒公式本质的认识进一步“内化”，对如何用运用泰勒公式研究函数性态有了进一步的认识。
在“定性”描述的基础上，还可以进一步设问：如果我们“定量”给出和在内的上确界，那么，的上确界又有什么特点呢？接着，教员再出示如下问题。
例3设为二次可微函数，且，
试证：，
且。
分析：大多数学生仍想按例1的解题思路解本题，但照搬例1的过程，好象不行。那么，教员应适时启发学生，能否同时从例2得到启示，为证明该结论提供“更多”的信息呢？ 证明：依题意，，
有，
其中；同时还有，其中。
两式相减并整理，就有
，
从而
，
上式表明，
均成立，故上述的二次三项式之判别式必非正，即，故，且。
这样，一层更进一层，通过定性和定量两方面的论证强化了学生对于函数各阶导数间有机联系的理解；同时，给学有余力的学生留下进一步思考的问题：如果函数在无限区间内具有更高阶导数，又能得到怎样的结论？通过上述教与学的过程，不仅加深了学生对于泰勒定理的理解，对函数性态的认识也不断上升到新的高度，学活了知识，也用活了知识。
最后，教员还可进一步引导学生进行发散思维，要求它们考虑：如果考虑有限区间，又应如何处理？请学生思考下边的例子。
例4设函数在上有二阶导数，且时，，试证：当时，。
分析：大多数学生认为，应该像例1那样论证，教员也可适时启发学生：能否直接用例1的过程或结论呢？确实，由例1的结论，可知，似乎可行，但这是不正确的。因为例1针对的是无限区间，论证过程不再适用，结论当然就不能照搬。同样，例3的结论也不能直接用于有限区间。
证明：由于函数在上满足泰勒定理的条件，因此在泰勒公式中将和分别取为和1，可得
，
再在泰勒公式中将和分别取为和0，可得
，
两式相减，可得
，从而就有
。
通过本题的分析和论证，使学生明白了，将区间从换为，好像只是量的变化，但问题证明的方式就发生了质变，要有辩证的和发散的思维。
为检验教学效果，我们提出以下问题考察学生：设在上具有二阶连续导数，且，，试证：，有。事实证明，大部分学生都能迎刃而解，泰勒公式的本质这个知识点得到了“内化”。
泰勒定理论证函数性态的教学研究的实践表明，上述做法能帮助学生更好地掌握泰勒定理这一教学的难点，同时鼓励学员在论证问题中辩证地思维，提高其运用该知识点研究函数性态和进行理论论证的能力，使得知识不断内化成学生的认知结构，这正是教学改革的基本要求。
