发掘学科教学价值 追求有深度的数学课堂
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）29-0074-03
【作者简介】郭庆松，江苏省中小学教学研究室（南京，210013）教研员，高级教师，主要研究领域为小学数学课程与教学。
作为一门贯穿义务教育、高中教育乃至高等教育的基础学科，数学无疑在整个课程体系中占有极其重要的地位。既然如此，“为什么要学数学”就成了我们必须要叩问的问题。一个当然的理由：数学在社会生产和日常生活中有着广泛的应用，它不仅是自然科学、技术科学的基础，在人文科学与社会科学中也发挥着越来越大的作用。然而，仅限于此吗？美国数学家波利亚曾经就现代社会对（高中）数学知识的使用情况进行了概算，结论是：数学家等“生产数学”的人占1%，工程师、数学教师等使用数学的人占29%，而不用数学的人占70%。事实上，即使是小学数学中诸如“圆锥体积”这样的知识我们究竟能有多少机会使用呢？显然，数学应用的广泛性及其基础性至少还不是学习数学的全部理由。那么，除此之外，数学的教学价值究竟何在？我们应该如何在数学课堂教学中实现这些价值呢？对这些问题的深入追问与实践探索，将会使我们的数学课堂保持足够的深度。
一、在理解中学会思考，培育理性精神
“数学是思维的体操”，这句一直被人们奉为经典的话至少包含两层含义：数学是思维的产物;数学也是思维训练的有效载体。作为研究数量关系和空间形式的科学，数学是人们把握事物本质属性的有力工具，数学知识的形成经历了高度的抽象与概括、严密的推理与论证过程，这一过程的核心便是思考。这就意味着，当我们将数学知识作为学习者的认识对象时，学习者必须经过丰富的思维活动才能达成对数学知识的理解，学习者也正是在经历数学知识的理解过程中学会思考。因此，让学生在理解中学会思考应成为数学课堂教学的重要价值追求。
这是江苏省2014年义务教育质量监测测试卷中的一道题：
下列选项（ ）最接近下图中铅笔的长度。
A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm
学生作答此题的正确率并不理想，问题何在？究其缘由是学生对测量含义的理解不到位，反思我们的课堂教学，我们是否对“一端对准0刻度，另一端所对准的刻度即是所测量对象的长度”这一具体测量的操作步骤强调得过分了，从而淡化了学生对测量本质含义的理解？长度的测量，其实质是看被测对象所包含长度单位的数量。基于这样的认识，我们在引导学生认识长度单位1厘米后，不妨设计以下几个环节教学测量：首先，侧重通过“用1厘米去量”的测量活动，让学生充分理解“一个物体（或线段）长几厘米，就是看它包含多少个1厘米”;待学生感到这样的测量方式的确不便后，再引入（甚至让学生尝试发明）由若干个长度单位组成的工具――尺;最后，仍旧基于测量的基本原理，让学生自主探索用尺测量长度的方法。
上述关于测量的教学告诉我们，即便是貌似简单的基础知识或基本技能的教学，也应该建立在理解的基础之上。当我们将学习的目标定位于理解时，获得知识的过程便不再是简单的模仿或机械的记忆，弄清知识的前因后果、掌握操作的原理依据的过程必然伴随着学生的积极思考。在这一过程中，学生不仅会赋予所学知识以丰富的意义，还将逐渐学会有根有据地思考问题。因而，从某种意义上来说，这也是学生理性精神逐渐形成的过程。
二、在探究中获得发现，培养创新意识
“创新意识的培养是现代数学教学的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。”这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于“创新意识”表述的起始语句，呼应了其在“前言”开始部分的表述：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”那么，数学在培养创新能力方面的独特价值究竟表现在何处？我们又该怎样发掘出数学这方面的价值，并最终将之体现于课堂教学中呢？在对教学内容做适当加工的基础上，精心组织数学教与学的活动，让数学学习的过程成为学生经历探索、获得发现的历程，不失为一条培养创新意识的有效途径，这也是荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔所谓的“再创造”。
以苏教版六下《圆锥的体积》一课的教学为例，在认识圆锥后，可以设计以下几个环节引导学生展开探究活动：
（1）让学生基于已有的几何学习经验，自主提出有关圆锥的研究问题，进而筛选出“圆锥的体积如何计算”作为进一步合作探究的问题。
（2）观察与圆锥体积相关的因素，并猜想可能的计算圆锥体积的方法。
（3）设想并讨论研究圆锥体积的实验方法以及实验材料的选择方法。
（4）利用圆锥、圆柱模型以及沙子（或水）等材料开展实验。
（5）对比实验的数据，做出归纳。
（6）回顾整个研究历程，并总结圆锥体积的计算方法。
事实上，上述实验并非严格意义上的数学推理过程，但对教学内容的合理加工以及教学过程的精心组织，让学生经历了一个有效的探究、发现之旅。从自主发现并提出问题到设想研究问题的方法、与同学合作完成实验，最终利用实验数据归纳、概括出圆锥体积的计算方法，这一过程几乎构成了一个微型的科学研究过程，在实现数学知识“再创造”的同时，也发展了学生的创新意识，培养了他们的创新能力。
小学数学学习内容既要反映社会的需要、数学的特点，又要符合儿童的认知规律。这就决定了小学数学在某种程度上既有科学的一面，也有日常的一面，甚或有儿童的一面。因此，将数学内容加工成可体验“再创造”的材料，大致可循三条路径：其一，沿着数学知识的历史形成过程，将古人的发现历程浓缩于课堂之中;其二，遵循数学知识的逻辑关系，为完善知识结构的节点展开探究;其三，依据小学生的认知发展规律，借助直观材料或生活经验在朴素的探究活动中体验类比、猜想、归纳、验证等数学活动过程。对数学教学内容的合理加工，是实现数学教学价值的重要途径，也是数学从科学转变为学科的具体体现。 三、在活动中体悟思想，感受数学的魅力
数学思想是数学的精髓，它蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。数学思想在数学内容体系中居于核心地位，与具体的数学知识是上下位关系。对数学思想的领悟不仅意味着思维品质的提高，也有利于学生更好地理解和掌握相关的数学知识。从一定意义上讲，思想一旦领悟，即便学生已经遗忘了具体的数学知识，在领悟思想过程中所经历过的心灵激荡和对知识的深刻理解仍将使他们受用终身，这不仅是数学思想的价值所在，也是数学学习的魅力所在。
数学思想一般具有内隐性的特点，在课堂教学中必须结合具体的内容，通过丰富的活动让学生逐步体悟。以抽象为例，作为最基本的数学思想之一，小学阶段众多数学概念的建构都离不开抽象，小学生也是在建构概念的过程中逐步体悟抽象的思想。例如：在一年级首次认识长方形、正方形、圆形等图形时，一方面要让学生接触大量的直观材料，让他们经历看图形、找图形、摸图形、说图形、做图形、画图形等丰富的活动，调动他们的多种感官，首先获得图形的丰富表象，再逐步去除颜色、质地等非本质特征，抽象出其本质的形状特征;另一方面，通过对图形变式的感知与辨析，在大小不同、摆放位置不一、比例不一的各式图形中抽象、概括出它们的共同属性。在这样的过程中，抽象发挥着重要的作用，然而它又如春雨般润物无声。
再如：转化思想是数学中应用极为广泛的思想，因其具有思想的内隐性特点，同时会具体表现为相应的转化方法与策略，我们可以在小学高年级时，结合具体的数学问题引导学生认识并体会这一思想的价值。例如：在学习每一个具体平面图形的面积计算方法时，可以让学生通过操作、推理等活动深入体验转化的具体步骤，感受有形的转化方法;在相关平面图形的面积计算方法都学完后，我们可以引导学生对整个小学阶段所学的这方面的知识进行整理，并形成一个良好的知识结构（如下图），由此让学生体悟转化思想的价值与魅力。
四、在对话中赢得激励，保持对数学的好奇与热爱
数学是理性的，但数学探索的过程激情四射，充满着火热的思考。数学学习的过程何尝不是如此呢？学生在数学学习过程中的参与度、投入度，以及由此获得的积极情感体验，其重要的根源即是他们对数学的好奇与热爱。然而，现实却不容乐观。相关调查研究表明，随着年级的升高，学生对数学的兴趣不断减弱。更让人不可思议的是，到了高年级甚至有数学成绩好的学生也不喜爱数学。孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”兴趣对于学好数学的重要性是不言而喻的，基于此，我们必须反思我们的数学教学，我们在课堂上究竟要为此做出何种改变？
课堂是对话的场域，既有教师与学生的对话，也有学生与学生的对话，更有学生与数学的对话。学生正是在这些对话中成长，在对话中建立对学习的态度，在对话中形成对数学的情感。如何使学生保持对数学的那份好奇与热爱？最重要的莫过于在这些对话中让学生赢得激励。首先，在师生对话、生生对话中赢得激励。这些激励不是简单的“廉价表扬”，而是基于学生的探索发现、精彩表达，乃至面对难题时的那份执着与坚韧生发出来的。因此，我们要发掘数学知识在这方面的可能价值。比如：为了让学生体验因挑战而获得的成功感，我们要找准学生的“最近发展区”，设计合适的问题，让学生“跳一跳，才能摘到桃子”;为了让不同的人都能赢得激励，针对学生间的差异，我们要将问题设计得更具层次性和开放性。其次，在感受数学的价值上赢得激励。建立在对数学知识本身特性认知上的情感体验，将会更好地激励学生学好数学。特级教师曹培英在一次访谈中曾谈道：“在我看来，数学的每一个知识点几乎都有令人赞叹、激动的理由。初学加法――我今天开始学第一种数学计算了;学习减法――我会和加法相反的数学计算了，加进来还能减出去;学了乘法就更了不起了――100个2连加要写半天，我一秒钟就写好了;学了除法，我是一个小小数学家了，加减乘除都会了。”如果学生在完成相关学习任务后，能产生这样的自豪与激动，那他对数学的好奇与热爱将会更为持久且具有深度。
