反例在中学数学教学中的运用
中图分类号：G643 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）17-202-03
所谓反例，通常来说就是举出一个具有所要判断的命题的条件，但是却不符合命题的结果的例子。美国数学家B. R. 盖尔鲍姆曾说过，数学是由证明和反例这两大类组成的，如果用一个反例来解决一个数学问题，给人的刺激就像一出好戏剧。在教学中，如果反例运用的好，就会有着事半功倍的作用，既可以活跃课堂气氛，丰富教学内容，又可以提高学生兴趣，加深学生对知识的认识及掌握。所以，反例教学在中学数学教学中是必不可少的教学手段之一。
本文将结合一些数学实例来讨论在中学数学教学中反例的重要作用，并指出在实际的运用中常见的一些反例构造方法，以及我们在运用和构造反例教学时应该注意的问题，在教学中更要注意引导学生的反向思维，使学生更好地利用反例来学习、思考。
一、反例在中学数学教学中的重要作用
1、反例有助于学生掌握概念、定理和公式
（1）反例有助于学生更好地理解一些抽象数学概念
在中学概念教学中，对于某些比较抽象的概念，有时当我们只从正面给出其定义并举例来说明，这并不够，为了加深学生对其本质的了解，我们不仅要运用正确的例子从正面来向学生阐明知识点，还要举出不符合定义的反例，从侧面对比其不同。教育心理学家也认为：“概念或规则的正例传递了最有利于概念的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。”
比如，偶函数的定义：若对于函数定义域里任意的一个 ，都有 成立，则函数 就是偶函数。而这个定义中“任意”两个字是很重要的，但是学生往往容易忽视，这里我们就可以提出反例来加深学生对其的掌握。
例2.1对于函数 ，有人依据 ， ，判断 是偶函数。
分析：这个判断是错误的，提出反例：当 时， ，而 ，即 。由于对于 定义域中任意 不是都有 ，所以， 不是偶函数。
通过反例的提出，我们加深了学生对这些关键词的理解，以后再遇见类似题目时，会特别注意命题中的关键点，做到全面的分析、解答，避免类似错误的再发生。
（2）反例有助于学生更好地掌握定理或性质
在中学定理或性质的教学中，定理或性质一般都采用了正面阐述的形式，但是学生往往对一些关键性词语认识不够，对所给条件理解不透彻，不注意分析它们的条件以及所适用的范围，只是在机械地记忆。这时如果遇到一些与此名称相似的定理或性质，就容易把这些定理或性质混淆在一起，从而在解相关题时出现错误。为了避免这种错误的出现，我们可以适当的引入反例教学，来帮助学生理解、记忆定理或性质中的关键词及所必需的条件，从而使学生能够很好的掌握，并正确的运用。
比如说，在证明三角形全等时有这样一种方法：“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是全等的”。这里的“夹角”一词是非常关键的，很多学生可能错误地认为“有两边和一个角对应相等的两个三角形全等”，这可以通过反例来纠正。
（3）反例有助于学生用好公式
在公式学习中，学生容易忽略公式成立的条件或者是公式应用的范围，容易把相似公式混淆，从而在使用时发生错误。为了避免这类错误的发生，适当的举一些反例也是很有必要的。
比如说，在矩阵教学中，有这样一个公式： .这个公式只适用于矩阵乘积的情况，并不是所有的矩阵算法都满足上述等式，但是有的学生依据这个公式，类似得出： .错误地认为 这个等式是成立的，我们可以提出反例来说明这个式子是不正确的。
例2.2 ， ，其中 ， ， ，很显然 。
通过反例教学，能够使学生明白：在实际的解题过程中，必须严格地按照公式代入求值，应正确掌握公式的使用条件，而且每建立一个公式都需要经得起各种验证。
2、反例能够帮助纠正错误，发现问题
判断一个命题或者一种理论的正确或错误，最好的方法就是构造反例。一个命题或者一种理论可能会有很多的反例存在，但是我们只要找到其中的一个反例就可以否定这个命题或者这种理论。总之，它可以直观、简明、清晰的把事实表达出来，澄清是非，揭示错误。
所以，在中学数学教学中，灵活运用反例教学，可以很好地帮助学生发现命题中所存在的问题，纠正其中错误。
比如，在连续函数教学中，有这样一个定义：“如果函数 在点 处及点 附近均有定义，并且 ，那么就称函数 在点 处连续。”有的学生依据此定义得出命题：“如果函数 在点 处及 附近均有定义，并且 ，那么就称函数 在点 不连续。”
但很显然，这个命题并不正确，那么我们可以举出以下几个反例来提示学生：这个新命题是错误的。用反例来纠正学生错误。
例2.3若函数 ， 在 处是否连续？
分析： 在 处不连续，是因为 在 处无定义。
例2.4 若函数 ， 在 处是否连续？
分析： 在 处不连续，是因为 ， ，即 。
通过反例教学，学生可以很快地发现所给出的命题或者判断是否是正确的，从而做出相应的改正，也从一定程度上加深了学生对原命题的理解，以后再遇到相似情况会更加注意，不会轻易做出判断。
3、反例可以帮助培养学生的反向思维和发散性思维
当代著名的哲学家科学家波普尔认为：“可证伪性是科学的一种必不可少的特性，科学的增长是通过猜想和反驳发展的，理论不能被证实，只能被证伪。”这就是说，科学发展的根本动力在于批判的精神。从实际意义上来看，也就是说，反例的运用可以深化推理的正确性，提高科学的严谨性，促进科学发展，也从一定程度上，引导人类进行反向思维和发散性思维。 所以，在中学数学的教学中，我们适当、适时的利用反例教学，学生在寻找反例解决数学问题的这个过程中，可以探索相关数学方法中的规律，逐渐形成学生自己特定的数学思维，也可以锻炼学生能力，使其观察力更加敏锐，想像力更加丰富，并且提高学生思维的灵活性、批判性等思维品质，增强学生数学素养。
二、反例的构造方法
1、特例构造法
“特殊”与“一般”是相互对立的，但是从一定程度上来说，他们之间也是相互联系、相互依赖的。利用它们之间的这种对偶关系，我们可以由“特殊”来否定“一般”。对一个一般性的命题，可以通过它的某一特殊情况的不真来否定这个命题。
例3.1如果两条直线平行， 那么其中一条直线必平行于经过另一条直线的平面。
分析：构造反例，当一个平面包含这两条直线时，命题不真。
2、命题数量关系讨论法
在数学中，有很多命题是以数量关系制约的。对于这些数学命题，也许在它的题设里规定了某些数量之间的关系，也许在它的题设里隐含着某些数量之间的关系，我们从它们的数学关系入手，就可以快速地找到反例。
例3.2设 的三边长分别是 ，且 ，则三角形必是正三角形。
分析：依题意知， ，即 ，移向整理后，得 ，即： 。显然，上式均可以逆推。当 时， 。此时， 满足题设关系，但命题并不成立。我们可以很容易地找到反例：当 时，三边满足题设中的等式关系，有 ，但是很显然 并不是正三角形，命题为假。
3、命题条件分类讨论法
对于一个假命题，有时候我们会因为分类不全或错误的潜在假设等原因，把它当作真命题。这时候，当我们把命题条件的各种情况都进行适当地分类，就可以发现使命题不真的条件，这样就可以得出反例。
例3.3若 ，则 。
分析：命题结论中， 可分为两种情况：（1） ；（2） 。显然，在第二种情况下，恒有 ，即当 时，命题结论不成立。于是，容易举出反例： 时， 。通过分类讨论，我们很容易得到了一个反例。
上述各种构造反例的方法，它们之间是相互联系的，而且它们也只是几种常见的构造方法，并不是所有的构造反例的方法。事实上，构造反例并没有固定的方法，一般来说，构造反例时要注意以下几点内容：
1、考虑原命题成立的背景，需满足的条件。
2、注意原命题中的特殊点、关键词。
3、考虑原命题中所隐含的内在关系和其本质意义。
三、运用反例教学时需注意的问题
虽然反例在数学教学中有很大的作用，但是在运用它的过程中，我们还是要注意一些问题，以期达到更加好的效果。只有反例运用得当、运用适宜，才能发挥反例教学的重要作用。
1、注意反例的选用是否适当、是否逐层引入
在中学数学教学时，要根据学生知识掌握的情况和学生的大脑认知水平来逐层深入地进行反例的构造，避免反例的运用超出学生现有认知范围，造成学生理解困难，使教学内容更加繁琐，而且不同的教学内容，对运用不同的反例有不同的要求。总之，只有符合实际教学情境、层层深入地构造才能使反例发挥真正的作用。
2、注意反例的主次是否清晰
在中学数学教学中，知识的阐述或者证明一般都是从其正面来进行的，反例只是用来加深学生对其关键词、应用条件等等的印象，以使学生能够辨明是非，正确掌握，所以，对反例掌握的要求不能太高，它只是一种辅助性的学习手段，不是学习的主要内容。
总之，数学反例是中学数学教学中的调节器，在教学中有着重要的作用。尤其，在寻求、构造反例的过程中，既要有一定的数学知识和经验的积累，还需要运用到某些数学思想方法和技巧，将所学知识融会贯通，所以，在中学数学教学时，适当的引导学生构造或引进一些反例，不仅能够使学生发现问题和错误，而且可以帮助学生学习、完善相关知识，恰当地构造反例有利于学生辩证思维能力的形成，可以使学生学会多角度去考虑分析问题，在认知上产生质的飞跃，并培养他们思维的缜密性、灵活性、发散性。对全面提高学生的数学素养有很大帮助。
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