探微数学认知的过程及理解的层次
上世纪中叶，心理学逐步触及数学教育领域问题。这标志其已逐渐脱离行为主义的桎梏，步入认知革命时期。从研究的方法上看，信息加工理论为认知心理学的知识建构提供了实践支撑。它主张用计算机模拟人脑思维，认为人脑基本上是按照计算机模型进行工作的。从事物的本源上看，依据科学反映论的观点，有机生命体在经历长期进化的过程中，催生了人脑形成反映的机制和功能，即具有以概念形式反映客观现象规律的能力。因此，数学认知过程可以认为是人脑与数学客体的反映与被反映的相互作用的过程。
一、数学认知的过程
从数学现象、数学心象到数学抽象的认知过程，就是源自认知心理学的视角，并体现反映论的观点，可视为数学教学上的一种认知过程。
1.数学现象
数学现象是数学的本源。自然界、人世间或人为的设计构造中，各种数量关系、空间形式以及概率论和数理统计中的随机现象，都能视为数学现象。现实世界中存在着大量的数学现象。而数学就是探究或论述数学现象的科学，数学教学则是阐述并运用数学现象规律的科学。对于教师而言，在教学过程中可以依据教学内容精心设计学习情景，引导学生主动发掘与观察数学现象；对于学生而言，需理解数学的抽象知识与普遍方法的来源是基于数学现象的，要重视数学现象的汇集、整理和分析。
2.数学心象
数学心象指人们心目中表征数学现象时所映射出的直觉形象，这些直觉形象往往缺乏理性分析，呈现出变幻不定，甚至淡化模糊的状态。在人们的社会实践与数学学习历程中，每个年龄阶段都会接触到各种数学现象，这些数学现象会通过个人耳闻目睹的感知在头脑中形成各类直观的心智图形，简称数学心象。可见，数学现象是数学心象的客观背景。数学现象作用于人脑生成映像的过程，就是人脑基于数学现实进行想象与默思的过程，其间存在着高度的对应关系。
3.数学抽象
人类的大脑经历长期的进化和遗传，已具有抽象概括的本能。在高层次的本能中还包含建模能力、想象力和猜想的能力。同时，人们又通过社会实践和数学学习训练不断唤醒与提高这种抽象能力。一般而论，达到认知的抽象阶段，其运行路径是依托数学心象的积淀、碰撞与整合，促使人脑归纳提炼数学共性特质，进而形成数学概念，并创制出表征数学概念的符号和数学名词，再运用抽象的数学知识与数学方法解决问题。
可见，学生的数学认知过程，始于自身接触大量且具体的数学现象，进而在头脑中产生直观性的数学心象，再通过数学心象的积累、变化与重组等过程，最终形成概括性的数学抽象概念。
二、数学认知理解的层次
理解就是数学知识的内化过程，是新知与学生已有认知结构建立起的相关联系。理解的程度则依赖于新知与认知结构联系的多与少、强与弱。而数学知识具有二重性，它是对象性和过程性的统一，从而对其理解就表现出既有概念性理解，又有程序性理解的双特征。因此，诸多因素促使学生数学认知理解水平存在层次性。
1.操作性理解
操作性理解指学生理解数学原理，掌握数学概念与数学事实，且熟悉数学技能的操作流程。其主要表现有：学生初步掌握数学“双基”；能运用习得的知识解决语义含义和关系复杂性较简单的数学问题，以及带有操作性步骤的实际问题。但学生在解决陌生的问题时，常常手足无措，灵活性和独创性明显不足。研究表明，在小学阶段，数学认知处于操作性理解水平的学生所占比例较高，对于解答带有识记性与操作步骤的问题，他们的认知成绩往往较好。
2.关系性理解
关系性理解指学生能在纵横联系中深刻认知数学的本质、规律以及相关联的事物。其主要表现有：学生能明晰、理顺概念间的上位、下位和同位的关系；能准确把握数学知识之间的内在联系；能运用所学知识与经验去同化、概括新知和解决一些综合性问题。研究表明，对于数学知识的理解，小学阶段的多数学生都处于关系性理解水平之下，其数学认知体系也尚未构建完善。当面对综合性问题测试时，他们的成绩并不理想。
3.迁移性理解
迁移性理解指基于学生的关系性理解水平，将数学基本思想、数学方法、数学基本活动经验以及习得的数学知识迁移到其他场合。其主要表现有：学生能深刻认识数学基本思想和数学方法；灵活运用数学基础知识以及数学基本活动经验解决问题，自主将习得的数学知识迁移到陌生的情景中。研究表明，在小学阶段，仅有少数学生的数学认知达到迁移性理解水平，在解决实际问题的能力测试中，大部分学生的成绩远低于预期。
综上所述，学生的数学认知理解水平遵循由低到高的发展规律，呈现逐步深入的趋势。学生要构建完善的数学认知结构，须达到关系性理解水平；要活化思维，在陌生的问题情景中应用数学，则须达到迁移性理解水平。
