提升数学概念教学立意的策略
数学的育人功能要求教师在日常教学中，以数学概念发生发展过程为载体，使学生经历完整的数学思考过程.只有这样，才能让学生逐步树立从数学的角度看问题的观点，逐步掌握数学思考的过程与方法，进而学会数学地认识和解决问题[1].我们“基于动态问题链的‘双径共振’数学教与学的研究”课题组也针对概念教学进行了如何提升教学立意、落实育人目标的尝试.经过深入的研究与尝试，我们提出以下几个方面的教学建议，以期能为教师提供教学的参考.
一、从数学知识内部的发展需要引入
概念引入环节主要是让学生体会和认识学习的必要性，包括明确学习这一概念的意义，了解概念的作用，引发学生学习的动机.这是概念引入环节的主要目的和任务[2].
许多教师能充分关注“数学从现实中来”，采用从实际引入的方式.如分式概念教学，创设学生感兴趣的、比较新颖的、当前正在发生的事件作为背景，让学生写出各种分式，再让学生进行概括，形成定义.
实际上，学生的现实，不仅包括生活现实，也包括数学现实、其他学科的现实，我们要关注学生的现实，为学习的必要性而引入.但是考虑到初中学生的心理特征正处于从感性认识上升到理性认识的关键阶段，我们更应关注学生的数学现实，即努力从数学知识内部的发展需要引入.如平方根一课中，对于面积为2的正方形边长问题，即x2=2如何求解.这样的引入以逆运算为认知冲突产生学习的需要，同时，与数学知识发生发展过程也比较吻合.当然，我们还可以从逆运算的角度更加深入地开展平方根概念引入教学的研究.
【案例1】 平方根的引入
师：我们已经学过有理数的哪几种运算？
生（齐答）：加、减、乘、除、乘方.
师：在这些运算中，哪些运算互为逆运算？
生：加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算.
师：对此，你还会有怎样的思考呢？
生1：乘方有无逆运算？
师：你讲得太好了！这其实就是本章研究的主要内容.
师：既然我们要研究乘方的逆运算，那么让我们一齐来回顾乘方的内容：乘方的一般形式是an，其中a为底数，n为指数，an叫作幂.
根据n的不同，我们知道乘方包含一次方、平方、立方、四次方……n次方……，我们可以选择其中最为特殊的平方进行研究.
评析：我们对某一数学对象的认识，一般都是先研究它的某种特殊情况或简单情况，由简入繁，循序渐进，从而更容易认识它，如小学时我们研究三角形、四边形，我们先研究它们的特殊情况，如直角三角形、正方形、长方形等.
师：对于平方有无逆运算的问题，我们同样可以先以一个特殊情况52=25为例进行研究.请大家思考：在式子52=25中，5为底数，2为指数，25为幂，你认为其中会有几种运算？
生2：三种，求幂，求底数，求指数.如：
（1）52=（ ），已知底数、指数，求幂的运算；
（2）（ ）2=25，已知幂、指数，求底数的运算；
（3）5（ ）=25，已知底数、幂，求指数的运算.
师：我们已经知道，求52=（ ）即平方运算，那么你认为平方的逆运算是哪一种运算呢？
生3：因为我们研究的是平方的逆运算，所以指数2是确定的.因此平方的逆运算只能是求底数的运算，即求（ ）2=25.
师：式子（ ）2=25是求一个数的平方等于25. 类似地，我们可以一般化.
一般地，如果一个数的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根.
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
显然，开平方与平方运算互为逆运算.
师：我们已经知道求25的平方根是一种运算，即开平方，那么运算的结果是什么呢？
生4：5，因为52=25.
生5：不对，还有-5，因为（±5）2=25.
师：补充得很好！因为（±5）2=25，所以±5叫25的平方根.
这样的引入设计较为符合数学知识内部的发展需要，也更能引发学生的数学思考，即模拟数学家的思考方法来研究知识，让学生经历完整的数学思考过程.同时，这样的研究过程也为学生研究类似的概念提供了方法的参考.如我们可以引导学生进行如下的类比思考：现在我们已经知道平方运算有逆运算开平方，那么立方有没有逆运算？叫什么？你能得出相关概念吗？类比得出：x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根.求一个数的立方根的运算叫作开立方. 也就是说这样的概念的引入方式更具可迁移性，这显然对学生的数学思考，甚至学习能力的培养更有帮助.
二、让学生充分参与概念本质特征的概括活动
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键.这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；另一方面要让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与.其中对于定义性概念，要注意以下两方面的问题.
（一）提供合理的例证
【案例2】 分式本质属性的概括
浙教版教科书在分式概念学习时提供给学生如下几个代数式的例证，希望学生在概括其本质属性的基础上得出定义[3].
由这几个例证，学生能比较容易地概括出除式中含有字母，大多也能概括出分子分母都是整式.但由于例子提供不合理的原因，不少学生还概括出了“分子分母都是一次式”这一非本质属性.如果我们将例证改成如下形式，就可以避免这一情况的发生. （二）设置分类活动
【案例3】 一元一次方程本质属性的概括
一元一次方程概念教学中，我们会给出如下的问题，请学生概括其本质属性.
问题：观察以下几个方程，请找出它们的共同特征.
三、通过精细加工明确概念的内涵与外延
正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵――对象的“质”的特征，及其外延――对象的“量”的范围.概念的内涵是概念的本质属性的总和；概念的外延是指具有概念所反映的本质的全体对象.在通过概括活动基本把握概念的内涵之后，我们还需要通过更精细的加工，进一步明确概念的内涵与外延.
（一）提供充足的概念的正例（原型、变式）与反例
概念的正例，主要是反映概念本质属性的.在数学概念中，正例主要体现为原型和变式两种类型.数学概念的原型是具有表征数学概念本质属性的最典型的标准实例.它是数学概念所有例子中的中心样例.因而，原型在概念学习中具有重要地位，学生一想到概念最容易联想到的也是原型.
学习数学概念最终必须掌握其本质属性，这些本质属性在概念的各种例子中是相同的，但由于许多无关特征的干扰，使得概念的本质属性往往隐藏很深，仅从原型的标准特征上难以真正把握其本质属性.因此，必须通过各种变式比较，排除由具体对象本身的非本质属性所造成的干扰，才能充分揭示概念的本质属性，真正形成概念.例如，“同位角”的概念，如果学生过于关注原型，则会误认为“平行性”也是这一概念的本质特征，从而影响概念的准确把握.因此，必须提供变式帮助学生排除“平行性”这一非本质特征.
（二）通过类似概念的对比，准确把握概念的细节
用对比方法找出容易混淆的概念的异同点，有利于学生区分概念，获取准确的知识.如学完单项式、多项式、整式的概念后，可以让学生指出哪些是单项式，哪些是多项式，仔细观察后并说明单项式与多项式的联系.再如，在学习“一元一次不等式”时，就可以与“一元一次方程”进行对比学习，在“一元”与“一次”上是相同的，不同的是前者含不等号，后者含等号，以及它们的解法都进行类比、对比学习，可以加深对知识的理解.对于易混淆的概念的最主要区别要特别强调，如“整式乘法”与“因式分解”的区别，主要是积化和差或和差化积的过程；轴对称图形与图形成轴对称的区别，主要是一个图形与两个图形的区别；一个角的平分线与三角形的角平分线主要是射线与线段的区别，等等.这样对概念的辨析、概念间联系的分析等过程，就是对概念的内涵进行“深加工”，对概念要素做具体界定的过程，让学生通过对概念的对比，能更准确地把握概念中的细节，加深对概念的理解.
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