以结构化与整体性的视角设计教学
运用联系的观点、整体的视角设计教学，是实现系统性地教与结构化地学的重要路径。人教版教材把相同或相似的内容安排在不同的学习阶段，体现知识的连贯性与螺旋式上升。那么，如何把握这些知识之间的联系，以结构化与整体性的视角对教学作长段部署，让教学的衔接性更紧密、序列性更清晰呢？本文基于对“图形的度量”的课例研究，谈谈如何对教学进行结构化与整体性设计。
一、由数学概念的本质出发寻找有效教学的线索
度量角的大小往往被定位为一种基本的操作技能，于是对应的教学策略常常是教师演示、示范操作，然后学生通过模仿操作训练达到技能的掌握。这种操作训练缺乏思考与探索的趣味。如何使学生真正参与其中？我们从度量角大小的本质出发寻找有效教学的线索。
关于角的认识，人教版是分两个阶段进行教学――二年级
“角的初步认识”和四年级“角的度量”。在第一阶段：学生仅仅会判断什么样的图形是“角”或不是“角”，知道角各部分的名称。至于如何抽象出“角”的内涵，以及“角”的大小是否取决于两边的长短等问题，学生的理解并不深刻与精细，而这些都是“角”概念的重要内容，需要在第二阶段予以突破。在四年级，除了借助射线概念形成角的动态表象外，我们需要通过度量角的大小构建与完善“角”的概念，因为研究角最重要的是关注它的度量属性。“角”的度量本质是所要度量的“角”与“标准的角”进行比较，看包含了几个标准角，就用比较的数值代表度量对象的大小。于是，我们可以把“测量角的大小”教学纳入“图形的度量”意识与能力的培养这一更大的背景下，对教学进行整体性与结构化设计：
1.理解统一度量单位的必要性
角的度量与线段、面积的度量本质上具有一致性，都需要建立度量标准。因此，可以借助已有的度量经验，让学生迁移类推出角的度量也需要建立度量标准，并形成知识网络。
2.变换量角器形状降低测量难度
量角器使用的难点是学生不知道怎么才能使量角器上的“角”与所度量的“角”重合。因为量角器上的“角”的顶点在中心，两条边都可以作为角的“始边”。另外，量角器上的刻度有内圈与外圈之分，学生不知选择哪种刻度读数。因此，创造性地改变量角器的形状，降低学生初期度量的难度：把一个圆平均分成36份，先把每一份所对的角的大小当作标准角。当9个标准角刚好可以拼成一个直角，学生就用印有“半个”量角器的透明胶纸测量练习纸上多个锐角和直角。在丰富度量经验、理解度量原理之后，再让学生测量钝角的度数，从而引出完整的量角器，感受量角器设计的合理性。
二、利用知识结构的一致性对教学作整体部署
从面积到体积，虽说是一个跨越式的学习，但依然隶属于“图形的度量”这一体系内。无论是面积还是体积教学，如果从知识的内部结构加以梳理，不难发现它们之间呈现出知识结构的一致性和扩展性。一致性表现为，学习内容都是以概念的建立与概念的运用为主线；扩展性体现为，面积是二维空间的度量，而体积是三维空间的度量，从二维到三维，维度的扩充是学生研究图形度量属性的飞跃。这种知识结构的一致性和扩展性的特点，为长设计的教结构和用结构提供了契机。
如果把面积的教学看作教结构的过程，那么就可以在体积的教学中寻找用结构的因子。比如，长方形的面积强调先确定大小相同的小方格（度量标准），再用小方格铺满长方形，看长方形里包含了几个小方格，那么小方格的个数代表了面积的数值。这一长方形面积度量的过程与长方体体积度量的过程具有一致，可以迁移、运用到长方体的体积探索中。
实践表明，打通面积、体积之间的内在联系，激活图形的度量经验可以帮助学生亲历概念的形成过程，这是从教结构到用结构的有力体现。
三、根据学生思维障碍点的追溯性分析调整教学
平面图形的面积计算教学是分两个阶段进行的。第一阶段是探索长、正方形的面积计算方法，第二阶段是在长方形面积计算的基础上利用“转化”的策略探索平行四边形、三角形、梯形乃至不规则图形的面积计算。然而，在开启多边形面积探索之门的平行四边形面积计算教学中，长方形的面积计算方法不但是迁移构建平行四边形面积计算的基点，同时也带来了一定的负迁移。比如，学生在得到计算公式前，往往会认为平行四边形的面积就是把邻边相乘，在课后的练习中，要求学生测量并计算一个平行四边形的面积，仍有相当一部分学生用邻边相乘的方法求面积。我们对学生这一思维障碍点进行追溯性分析发现，对于长方形的面积计算，随着时间的推移和面积计算公式的反复运用，学生对“长代表一行有几个单位面积，宽就代表可以摆相同的几行”这一数学事实逐渐忽略和淡忘，而“长和宽相乘就能得到面积”这一抽象的算法不断被强化。于是，停留在学生记忆中的求面积的方法不再是用单位面积累加，而仅仅是两条线段长度的计算关系而已。这样的认识一旦迁移至平行四边形的面积计算学习后，容易造成学生只关注相邻边的长度计算。因此，我们需要调整相关教学的策略。
在三年级长方形的面积计算教学时，我们应该放慢抽象计算公式的脚步，利用具体操作与直观图示，深化“长”与“宽”的度量本质，让“铺小方格”的直观表象与计算公式的形式演绎建立深刻的联系。在五年级平行四边形的面积计算教学中，由于与第一阶段的学习相隔时间较长，作为多边形面积计算的种子课，不应该在开始阶段就急于让学生进行图形的等积变形，而是回顾长方形面积计算的推导过程，借助面积的度量意义引领新知的探索，在方格纸的背景下，思考为什么要转化？怎么转化？转化前后的图形之间有什么联系？从而帮助学生对不同阶段的面积度量有系统化与整体性的把握。
从一节课延伸到一类课的思考，或者说从一类课的框架来分析具体的一节课，是整体性与系统化教学的有效手段。我们需要从知识本质出发进行系统梳理，善于从学生的认知水平、思维现状进行追溯分析，将局部置于整体的框架上作通盘考虑，那么教学策略的制定会更具有针对性和有效性。
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