问题解决在中学数学教学中的应用
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）06-0016
数学在我们的生活中无处不在，它是一门问题解决的学科。自从上个世纪80年代，教育改革的钟摆开始向“问题解决”方向摆动，问题解决就一直作为数学教学的焦点。究竟何为“问题解决”呢？问题解决是由一定的情景引起的，按照一定的目标，运用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问题得以解决的过程。
在我国，中学数学教学中比较突出的两个问题是，学生运用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识运用实际问题中，对所学数学知识的实际背景了解不多；学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。因此，在中学数学教学中体现问题解决的思想，是解决上述问题的有效途径。
顺应世界教育改革的热潮及结合我国国情需要，问题解决的思想精髓必定会运用到中学数学教学中。但是问题解决在中学数学教学中如何运用呢？这就成了我们中学一线数学教师的困扰。笔者结合多年高中数学教学经验，总结几点看法：
一、鼓励学生探索、猜想以及发现
中学生属于青少年时期，他们活泼好动，朝气勃勃，具有积极探索的态度以及猜想、发现的欲望。数学教师只要稍微引导、鼓励他们去探索、猜想和发现，培养他们的问题意识，经常启发他们思考、提出问题。例如，在高中数学必修4的“三角函数”这章中常见的解题方法是探索、发现角与角的关系。如：
求值：■
若在传统教材中，只要将cos15°?sin8°和sin15°?sin8°分别积化和差就不难求出其值，但新教材中不要求学生记住积化和差公式，这就给本题的解决带来了一定的困难。我们可以鼓励或引导学生去分析题中三个角之间的关系：7°=15°-8°，15°=7°+8°，只要将后者代入原式，按下面的方法就可求值：
原式=■=■=tan15°=2-■
上述解法的关键在于挖掘题中各角的关系，通过“拼角”使问题获解。
但有一点必须注意的是，在实际教学中，在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”：有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导、点拨学生。不要在任何时候都让学生亲自猜想、发现，那样要花费太多的教学时间，降低教学效率。此外，在探索、猜想、发现的方向上，要把好舵，不要让学生在任意方向上去费劲。
二、注重培养学生的应用意识
用数学是学数学的出发点和归宿。数学知识的应用是广泛的，大至宏观的天体运动，小至微观的质子、中子的研究，都离不开数学知识，甚至某些学科的生命力也取决于对数学知识的应用程度。马克思曾指出：“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步。”生活中充满着数学，教师在教学过程中必须重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。例如，七年级几何的“两点之间线段最短”的教学，可以提出这样的问题：学校要安装一部电话，从邮局扯线，怎样扯最省钱？蚂蚁要把粮食从A地运往B地，怎样走最省时？这些都是生活中常见的例子，让学生学起来觉得实用，增强他们的学习兴趣。此外，还可以考虑把与现实生活密切相关的银行事务、利率、投资、税务中的常识搬到课堂来。
当然，并不是所有的数学课题都要从实际引入，数学体系有其内在的逻辑结构和规律，许多数学概念是从前面的概念中通过演绎而得，又返回到数学的逻辑结构。
三、使学生掌握问题解决的一般过程和方法
由于实际问题常常是错综复杂的，解决问题的手段和方法也多种多样，不可能也不必要寻找一种固定不变的、非常精细的模式。笔者认为，问题解决的一般过程和方法是：1. 首先对与问题有关的实际情况作尽可能全面深入的调查，从中去粗取精，去伪存真，对问题有一个比较准确、清楚的认识；2. 拟定解决问题的计划，计划往往是粗线条的；3. 实施计划，在实施计划的过程中要对计划作适时的调整和补充；4. 回顾和总结，对自己的工作进行及时的评价。
四、创设问题情景
创设情境是指把生活中的实际问题提出来，让学生产生认知冲突，进行探索，将实际问题逐步抽象成为数学问题。例如：
某农场新垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产物如下表：
问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？
要正确解决这个问题，学生就应该使自己呈现在真实具体的问题情境中，发挥自己最大的探索能力，理解数学与实际的联系。学生学习数学知识的目的就是应用数学知识解决生活中的实际问题。因此，上题通过学习者周详分析，可以分别设蔬菜、棉花、水稻分别种植x，y，z亩，总产值为w元，则：
x+y+z=50■x+■y+■z=50w=1100x+750y+600z
整理，求解得：当x=30时，wmax=45000，此时y=0，z=20。即当种植蔬菜20亩，棉花0亩，水稻20亩，才能使总产值最高。
上题就是把课本中的基础知识设计成有待于解决的好问题。因此，对现有习题形式作些改革，适当充实一些应用题，配备一些非常规题、开放性题和合作讨论题是当前数学教学中所要采取的重要措施。在实施完成后，教师应该帮助学生根据对世界的真实性和问题的了解，对解题的过程和结果进行真实的检查，使得问?}解决的结果有意义。
21世纪是科学突飞猛进、人类知识积累积聚增加的世纪，不仅要培养学生具有现代科学系统的基础知识和基本技能，更要教会学生学会思考，学会独立地、创造性地解决问题。数学教学非常强调问题取向的教学模式，也就是在教学改革中必须将学生的概念表象和原有经验联系起来，在问题解决中给学生更多的独立空间。在教学中，处于中心地位的并不是接受自动的算法，而是发展学生灵活的认知策略和相应的学习态度。
