关于彩票问题的数学模型
【中图分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2011）12－0052－02
数学建模一般可以描述为，对于现实世界中的特定对象，为了特定目的，根据特有的内在规律性，作出一些必要简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学建模在国民经济和社会活动许多方面，如分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理，都有大量应用。
数学建模是理论与实践相联系的桥梁，有利于培养大学生实践能力和综合素质。探索其它数学课程面向实践的教学方法，进一步提高大学生实践能力，对激发大学生的学习热情，有着重要意义。
数学期望是概率论中的一个重要概念，应用较广泛。在教学过程中引入实际问题，如风险型决策、保费计算、存取模型等，引导学生运用数学期望等数学知识研究解决，取得了较好的教学效果。
一些在日常生活中很常见的现象，也可以用数学模型的方法加以分析。人们带一大笔现金出门，有些人可能会放在一个地方，有些人可能会分开放。就这个现象，我要求学生说说自己的观点并分析。
仅仅从期望的角度出发，学生很容易得到，这些现金放一个最安全的地方最好。但有学生从感觉上认为分开放比较好，希望知道原因。
这个问题涉及效用理论。事实上，人的思维并不是完全数学性的，例如，获得10000元与二分之一机会获得25000元两个选项，从期望角度，当然后一选项较好，但很多人会选择前一选项。
带1万元现金出门，损失1万元相比损失一半，不仅是数值上的2倍，更有现金全部损失的一系列严重后果。可以考虑用一个指标来说明这种考虑包含现金数损失并考虑其他因素的损失程度。
学生很快就这个问题建立了数学模型。
带有1万元现金，比较两种方案：
方案1：放在一个最安全的地方。
方案2：平分两半放两个地方。
两个地方现金损失概率分别为p1、p2，p1＜p2。
方案1的损失期望E1＝p1。
方案2的损失期望E2＝ （p1＋p2）。
仅从期望角度，方案1较好。
下面考虑损失效用，记损失1万元及0.5万元的损失程度分别为：
u1、u2，u1＞2u2
方案1的损失预期效用EU1＝p1u1。
方案2的损失预期效用EU2＝p1u2＋p2u2。
如果 ，则方案2较好；如果 ，则方案1
较好。
二、彩票模型
1．引入效用函数
记彩票各奖项的奖金为m1，m2，…，mn。
中奖概率为p1，p2，…，pn。
引入一个合适的效用函数u（x）。
则奖金的预期效用EU＝ u（mk）pk。
这个模型中效用函数的确定是关键。
研究认为，当获利较小时，人们属于风险喜好型；当获利到达一定数额后，人们会转变为风险厌恶型。并且从风险喜好到风险厌恶的转折点与个人财富相关，财富越多转折点越高。
由此可以定义一个S形的效用函数：
u（x）＝1－
其中参数σ可以依照收入水平确定，如某人年平均收入为5万元，取30年总收入150万元的效用为0.95，可以确定这个参数。
更细致的方法是将彩民分为冒险型、中立型和避险型，并调查三类人数占彩民总数的比例，采用加权平均的方法，得到一个体现彩票吸引力的综合指标。
设冒险型、中立型和避险型彩民的效用函数为：
ui（x）＝1－ ，x≥0，i＝1，2，3。
三类彩民占彩民总数的比例为r1，r2，r3，定义彩票吸引力函数为：
f＝ ui（x）ri
通过比较这个指标，可以说明不同彩票的吸引力，也能说明人们购买彩票的动力。
但下面的例子很难用效用方法做出解释。商家在顾客购买商品后提供两个方案进行促销活动：
方案1：优惠5%。
方案2：从10黑10白围棋子中摸取10个，如果全是黑的或全是白的，则同样商品再免费送一件。
调查发现还是有人选择方案2，通过计算发现方案2的优惠率约为十万分之一，也就是1000元的商品优惠1分钱。如果直接说1000元的商品优惠1分钱，恐怕没有人会选择，选择方案2的原因在于概率误判。当人们遇到较小概率时，在感觉上会误认大些，而且越小的概率相对误判程度越大。当然对接近1的概率，与1的差距也会同样误判。
分析这个例子后，学生给出了彩票问题相应的模型。
2．引入概率误判函数
记彩票各奖项的奖金为m1，m2，…，mn。
中奖概率为p1，p2，…，pn。
引入一个合适的概率误判函数w（x）。
则奖金的误判期望EW＝ mkw（pk）。
心理学研究表明，人们倾向于高估低概率事件的出现，低估高概率事件的出现；高估有利事件的出现，低估不利事件的出现。概率误判函数w（x）可以根据这个研究来确定。
假设彩民对概率0，0.5，1不会产生误判，对接近0和1的概率会误判，而且越接近0误判程度越大，越接近1对概率与1的差误判程度越大。
定义概率误判函数：
当0＜x≤0.5时，误判系数为 ，假设某彩民将0.001
的概率误判为0.01，即误判系数为10，可以通过误判系数确定误判函数中的参数：
＝10
α＝
在大学数学课程教学过程中引入这样的生活中常见的现象，引导学生建立数学模型加以解释，活跃了课堂气氛，锻炼了学生解决实际问题的能力，提高了教学效果。
