试谈解题思路的发现与范畴间的辩证关系
出处：论文网
时间：2006-03-11
众所周知，唯物辩证法的范畴是我们认识事物的科学的思维形式．唯物辩证法的每一对范畴都是对立的统一．它们一方面相互对立，另一方面又相互依存、相互贯通和相互转化．恩格斯指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式．数学与唯物辩证法的这种天然联系，使得范畴间的辩证关系成为我们解决数学问题时发现解题思路的主要线索．本文试对解题思路的发现与范畴间辩证关系的联系作一初步探索，希望对教学有所帮助．
一、对偶范畴间相互对立关系的启迪
思维的定势与惯性，是影响解题思路的重要因素．根据问题的具体情况与个人的思维习惯，当我们从某一角度观察问题或从某一角度入手探索问题而陷于困境时，想到对偶范畴间的辩证关系，转而从原来思维的对立方面着手考察、分析，则往往寻找到柳暗花明的新境地．
例1 设ａ＞ｂ＞ｃ．求证：ａ２ｂ＋ｂ２ｃ＋ｃ２ａ＞ａｂ２＋ｂｃ２＋ｃａ２．
分析与证明：由不等式两边的特征与联系想到运用比较法．证题的关键在于差式（ａ２ｂ＋ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ｂｃ２＋ｃａ２）的变形．
变形1．差式＝（ａ２ｂ－ｃａ２）＋（ｂ２ｃ－ａｂ２）＋（ｃ２ａ －ｂｃ２）
＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ）．
至此，似乎无路可走．
变形2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｂｃ２）＋（ｃ２ａ －ｃａ２）
＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｂｃ（ｂ－ｃ）＋ｃａ（ｃ－ａ）．
如此，仍然重蹈复辙．
变形3．差式＝（ｃ２ａ－ａｂ２）＋（ａ２ｂ－ｂｃ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）
＝ａ（ｃ２－ｂ２）＋ｂ（ａ２－ｃ２）＋ｃ（ｂ２－ａ２）．
如此，仍未走出“怪圈”．
以上对差式“均匀分组”的尝试均未成功．在反思与寻觅中，受范畴间相互对立关系的启发，想到对差式作“不均匀分组”的变形．
证法1．差式＝ａ２ｂ＋（ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ａ２ｃ）－ｂｃ２
＝ｂ（ａ２－ｃ２）＋（ｂ２＋ａｃ）（ｃ－ａ）
＝（ａ－ｃ）［ｂ（ａ＋ｃ）－（ｂ２＋ａｃ）］
＝（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＞０．
∴ 原不等式成立．
探索初解为什么受阻，可以说过分“对称”组合是解题陷入困境的原因之一．在差式的对称结组中，不对称的条件ａ＞ｂ＞ｃ难以发挥作用．于是，再由范畴间的相互对立，想到差式的“不对称”结组．
证法2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）＋（ｃ２ａ－ｂｃ２）（有意避开对称结组）
＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｃ（ｂ２－ａ２）＋ｃ２（ａ－ｂ）
＝（ａ－ｂ）［ａｂ－ｃ（ａ＋ｂ）＋ｃ２］
＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０．
∴ 原不等式成立．
再寻初解受困的缘由，除了对称（均匀）结组的思维习惯，更重要的是自身思维的狭隘--局限于孤立考察各组的表面形式．于是对由范畴间的相互对立，想到寻觅各组之间的内在联系，诸多新解法由此产生．
证法3．由上述变形1得
差式＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ）
＝ａ２（ｂ－ｃ）－ｂ２［（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）］＋ｃ２（ａ－ｂ）（刻意沟通与前后两组的联系）
＝（ｂ－ｃ）（ａ２－ｂ２）＋（ａ－ｂ）（ｃ２－ｂ２）
＝（ａ－ｂ）［（ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ）＋（ｃ２－ｂ２）］
＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０．
∴ 原不等式成立．
其他证法从略．
一、对偶范畴间相互对立关系的启迪
思维的定势与惯性，是影响解题思路的重要因素．根据问题的具体情况与个人的思维习惯，当我们从某一角度观察问题或从某一角度入手探索问题而陷于困境时，想到对偶范畴间的辩证关系，转而从原来思维的对立方面着手考察、分析，则往往寻找到柳暗花明的新境地．
例1 设ａ＞ｂ＞ｃ．求证：ａ２ｂ＋ｂ２ｃ＋ｃ２ａ＞ａｂ２＋ｂｃ２＋ｃａ２．
分析与证明：由不等式两边的特征与联系想到运用比较法．证题的关键在于差式（ａ２ｂ＋ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ｂｃ２＋ｃａ２）的变形．
变形1．差式＝（ａ２ｂ－ｃａ２）＋（ｂ２ｃ－ａｂ２）＋（ｃ２ａ －ｂｃ２）
＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ）．
至此，似乎无路可走．
变形2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｂｃ２）＋（ｃ２ａ －ｃａ２）
＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｂｃ（ｂ－ｃ）＋ｃａ（ｃ－ａ）．
如此，仍然重蹈复辙．
变形3．差式＝（ｃ２ａ－ａｂ２）＋（ａ２ｂ－ｂｃ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）
＝ａ（ｃ２－ｂ２）＋ｂ（ａ２－ｃ２）＋ｃ（ｂ２－ａ２）．
如此，仍未走出“怪圈”．
以上对差式“均匀分组”的尝试均未成功．在反思与寻觅中，受范畴间相互对立关系的启发，想到对差式作“不均匀分组”的变形．
证法1．差式＝ａ２ｂ＋（ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ａ２ｃ）－ｂｃ２
＝ｂ（ａ２－ｃ２）＋（ｂ２＋ａｃ）（ｃ－ａ）
＝（ａ－ｃ）［ｂ（ａ＋ｃ）－（ｂ２＋ａｃ）］
＝（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＞０．
∴ 原不等式成立．
探索初解为什么受阻，可以说过分“对称”组合是解题陷入困境的原因之一．在差式的对称结组中，不对称的条件ａ＞ｂ＞ｃ难以发挥作用．于是，再由范畴间的相互对立，想到差式的“不对称”结组．
证法2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）＋（ｃ２ａ－ｂｃ２）（有意避开对称结组）
＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｃ（ｂ２－ａ２）＋ｃ２（ａ－ｂ）
＝（ａ－ｂ）［ａｂ－ｃ（ａ＋ｂ）＋ｃ２］
＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０．
∴ 原不等式成立．
再寻初解受困的缘由，除了对称（均匀）结组的思维习惯，更重要的是自身思维的狭隘--局限于孤立考察各组的表面形式．于是对由范畴间的相互对立，想到寻觅各组之间的内在联系，诸多新解法由此产生．
证法3．由上述变形1得
差式＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ）
＝ａ２（ｂ－ｃ）－ｂ２［（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）］＋ｃ２（ａ－ｂ）（刻意沟通与前后两组的联系）
＝（ｂ－ｃ）（ａ２－ｂ２）＋（ａ－ｂ）（ｃ２－ｂ２）
＝（ａ－ｂ）［（ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ）＋（ｃ２－ｂ２）］
＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０．
∴ 原不等式成立．
其他证法从略．
