遵循学生认知规律 意义对接数学模型
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014） 28-0110-04
《义务教育数学课程标准（2011版）》指出“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”在实际教学过程中，一线教师非常重视模型思想的渗透，如苏教版小学数学一年级下册《元、角、分》单元，购物情境中的问题涉及到的三个数量分别是“付出的钱”、“物品的价钱”以及“找回的钱”。笔者所在教研组的一位教师基于“总量模型”（也可称加法模型，表示为“总量=部分量+部分量”，相应的减法模型就是“部分量=总量-部分量” ）让学生理解其中的数量关系，认识到“付出的钱”就是“总量”，而“物品的价钱”以及“找回的钱”就是“部分量”，然后根据“总量”与“部分量”的关系确定解决问题的思路。实际教学效果却事与愿违，学生在分析和解决问题的过程中并不能够找到与“总量”以及“部分量”相匹配的数量，导致确定“总量”与“部分量”的过程出现了混乱，错误率较高。如何让学生把问题里的数量与模型进行意义对接，达到对数量关系的深度理解呢？笔者所在教研组教师们进行了深入思考，对这三个数量之间关系的学习过程进行了整体规划。
一、基于经验，理解等价交换
商品买卖的本质是人与人之间的等价交换，即“付出的钱”与“物品的价钱”应该是等价的。如果“付出的钱”少于“物品的价钱”，则不能进行交换；如果“付出的钱”多于“物品的价钱”，则需要用“物品的价钱”再添上缺少的一部分钱，才能够进行交换。所以，要解决购物情境中的问题，前提是让学生理解等价交换，建立等价交换的观念。在教学过程中，安排了这样的学习过程：
首先让学生学习教材第69页第3题（如图1）
师：老师这里有1张5元的人民币，你能够拿出同样多的钱和我交换吗？
生：我拿2张2元和1张1元的，一共是5元。
师：拿出钱的面值可以不一样，但是两个人的总钱数一定要一样，这样的交换才公平。根据这样的想法，还可以怎么换？
生：可以拿5张1元的，也可以拿1张2元的和3张1元的，这两种方法合起来都是5元。
……
师：我有3张10元的，你拿50元和我交换，可以怎么交换？
生：3张10元，也就是30元，这样的交换不公平。
师：我还有20元的文具盒、10元的削笔器，现在能不能想到办法？
生：可以先拿3张10元的，再拿1个20元的文具盒，这样一共是50元。
生：可以拿1个20元的文具盒，再拿1个10元的削笔器，最后拿2张10元的，这样也一共是50元。
师：我要保证物品的钱和我身边的钱合起来一共是50元，这样的交换才是公平的。现在，我身边没有钱了，只有20元的文具盒、10元的削笔器、30元的玩具熊、40元的书包，如果你用50元和我换，可以怎么换？
生：可以换20元的文具盒和30元的玩具熊，一共是50元。
生：可以换10元的削笔器和40元的书包，这样也一共是50元。
生：只要用50元换回50元的东西，这样的交换就是公平的。
师：不管是哪种方法，两个人交换的总钱数一定要相同，这样才是公平交换。
上述学习过程中，首先让学生联系生活中的公平意义理解等价交换：虽然交换过程中人民币的面值发生了变化，但面值的总数是相等的。接着通过不对等的交换，让学生基于等价交换的观念想到，可以合理运用人民币与物品组合的方式解决不对等交换的问题，进一步理解等价交换的意义。最后再通过人民币与物品的交换，让学生理解虽然交换的物品不同，只要价格的总数与人民币的面值总数相等，就可以进行交换，进一步拓宽等价交换的内涵。通过上述三个层次的学习，让学生建立等价交换的观念，为找到购物情境中的数量关系打下基础。
二、运用几何直观，深度理解关系
学生在分析“付出的钱”、“物品的价钱”以及“找回的钱”这三个数量之间关系的时候，常常只关注这三个数量，而忽视这里隐藏着的另一个数量――“物品的价钱”与“找回的钱”的总量，这个总量与“付出的钱”是相等的，这样才能够进行等价交换。“物品的价钱”与“找回的钱”是与它们两个的总量直接发生关系的，而它们两个的总量又与“付出的钱”直接发生关系，“付出的钱”与“物品的价钱”、“找回的钱”这两者之间的关系只是间接关系。在教学过程中，如果忽视了“物品的价钱”与“找回的钱”的总量，学生就难以找到“付出的钱”、“物品的价钱”以及“找回的钱”这三者之间的关系。在教学过程中，安排了如下学习过程，让学生理解购物情境中的数量关系：
师（出示图2）：明明付了55元买一个足球，够吗？
生：不能确定，因为不知道足球的价钱。
生：有可能够，也有可能不够。如果足球的价钱比55元多，就买不到了；如果足球的价钱正好是55元，就正好够；如果足球的价钱比55元少，就有钱多。
师：有钱多，怎么办？
生：就要找钱。
生：就和刚才我们换东西一样，明明给了55元，必须要拿回55元的东西，这样才公平。足球的价钱如果没有55元，那么售货员就需要添点儿钱，正好和足球的价钱凑成55元。
生：售货员阿姨添上去的钱就是找回的钱。
师：（出示图3）现在阿姨找回了2元，明明付了55元，从图上你还能够找到另一个55元吗？ 生：明明付了55元，售货员阿姨和他交换的也是55元，足球的价钱和阿姨手里拿的2元，一共也是55元。
师：刚才的过程，我们可以用这样一个示意图表示（动态演示图4）。
师：从图上看，你知道足球是多少元吗？
生：足球的价钱和2元钱合起来一共是55元，所以用55元减去2元就等于足球的价钱。
上述过程中，通过只给出“付出的钱”判断够不够买到足球的问题，激起学生的思维冲突，根据前面等价交换的观念找到了隐藏于购物情境中的另一个数量――“物品的价钱”与“找回的钱”的总数，并且判断出“物品的价钱”与“找回的钱”的总数就等于“付出的钱”。运用动态示意图演示交换情境，把问题里的数量关系通过直观图表示出来，让学生从图上发现数量与数量之间的本质联系，找到解决问题的方法。
三、形成结构，对接数学模型
数学模型作为抽象思维的产物，是沟通数学与外部世界的桥梁 。建立模型的目的是为了更好地解决问题，但是如果学生在解决问题的过程中只是机械套用，不能够把实际问题中的数量与模型中的数量进行合理对接，则会大大降低模型的使用效率。教学中，通过以下过程，让学生把购物情境中三个数量之间的关系结构化，并且与“总量模型”以及相应的减法模型进行对接：
（教师出示图5，学生独立思考后交流）
生：明明付的钱要和阿姨的总钱数是一样的，这样的交换才公平。
生：篮球是45元，阿姨又拿了5元，这样一共拿了50元和明明交换，明明肯定付了50元。
（教师配合学生的解释，动态演示图6。）
师：我们在思考的时候，能不能把这个图变得更加简单一些。
生：明明付出的钱和阿姨的总钱数是相同的，所以只要看右边的图就行了。
师：也就是把这个图进行这样的合并（如图7）。
师（出示图8）：现在你知道售货员阿姨要找给明明多少钱吗？
生：还可以借助刚才这种图来想：付出了70元，网球拍没有70元，阿姨就要添上一些钱正好凑到70元和明明交换，用70元减去网球拍的60元，就等于要找回10元。
（教师根据学生的发言，动态演示出图9。）
师：真会动脑筋！刚才的三个问题看上去不同，但你能够找到其中相同的地方吗？
生：都是借助于同一种图来思考的。
生：这一个大的长方形就是付出的钱，物品的价钱和找回的钱都是其中的一部分。
生：付出的钱就是我们以前学习的总数，物品的价钱与找回的钱都是其中的一部分，两个部分加起来就是总数，用物品的价钱加上找回的钱就等于付出的钱。
生：物品的价钱与找回的钱都是其中的一部分，所以要算物品的价钱和找回的钱，都用总数去掉一部分等于另一部分。
师（动态演示图10）：大家真是爱思考的孩子，虽然这里说的是付出的钱、物品的价钱和找回的钱之间的关系，但是和我们以前研究的总数与部分数之间的关系相同，都可以借助于前面研究出的总数与部分数之间的关系来思考。
上述学习过程中，通过把两幅图向一幅图合并，把中间量（“物品的价钱”与“找回的钱”的总数）与“付出的钱”进行整合，并引导学生借助示意图理解“付出的钱”、“物品的价钱”与“找回的钱”三者之间的关系，找到解决问题的方法。在三个问题比较的过程中，学生再借助示意图把三个数量之间关系进一步结构化、系统化，并且主动与前面研究的“总量=部分量+部分量”以及“部分量=总量-部分量”的模型进行对接。在主动对接的过程中，一方面拓宽模型的现实意义，另一方面让学生基于数学模型的意义再次重新认识购物情境的数量关系，加深对于数量关系的理解，提高了学生解决问题的能力。
在教学过程中，学生在基于实际意义抽象出数学模型并对模型进行运用的过程中，不能让学生机械套用模型，而要基于学生的认知特点，引导学生深入研究问题里面的关系。在学生真正理解其中的关系后与数学模型进行意义对接，一方面丰富了模型的意义，另一方面也能够真正压缩学生的思维过程，提高解决问题的能力，发挥数学模型的作用。
