浅谈构造法在数学分析中的应用
中图分类号：O171 文献标识码：A
On the Application of Construction Method in Mathematical Analysis
LI Shengbiao
（Lanzhou University of Arts and Sciences， Lanzhou， Gansu 730000）
Abstract This paper studies in mathematical analysis teaching， some application of construction method in theorem proof， counterexample， inequality proof of concept.
Key words construction method； mathematical analysis； application
0 引言
在数学分析课程中，定义、定理和习题中有大量的存在性问题， 证明存在性命题，构造法是经常用到的一种方法。构造法根据题设的条件，先构造一个辅助函数，使该辅助函数符合另一个已经证明成立的定理，从而使所求证的命题得以证明。然而，构造法一般无章可循，具有很大的灵活性，没有固定的模式，因此，如何才能设计和构造一个恰当的辅助函数，这是构造法的关键所在。笔者在讲授数学分析中微分中值定理等问题时，针对问题的具体特点，总结出一些构造辅助函数的规律。本文将结合实例具体介绍这一方法及其应用。
1 构造法在定理证明中的应用
1.1 还原法
还原法证明定理的关键是构造一个辅助函数，构造方法一般从定理的结论出发，通过对已知和结论的分析，构造出辅助函数。具体的构造方法如下：将欲证结论中的换成，然后对等式两端积分，再移项，使等式一端为常数，则等式的另一端即为辅助函数。
例1 设 （），（）在[]上是连续函数，证明存在（）使 （）（） = （） （）。
分析过程：将结论中的换成有
（）（） = （） （），移项得
（）（）（） （） = 0。
即有（ （）?（）） = 0，
两端积分得 （）?（） = 。
即构造辅助函数（） = （）?（）。
证明：作辅助函数（）= （）?（），显然（）在[]上连续，在（）内可导，且有（）= 0 = （），故满足罗尔定理的三个条件。由罗尔定理的结论有，在（）内至少存在一点，使得（） = 0，可得 （）（）（） （） = 0，即 （）（） = （） （）。
1.2 微分方程法
在此介绍构造辅助函数的另一种常见方法 ――微分方程法，下面结合实例介绍这一方法及其应用。
例2 设函数 （）在[0，1]上连续，在（0，1）内有二阶导数，证明存在（0，1）使 （1）2 （） + （0） = （）
分析过程：将结论中的换成并变形有，（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，记 = 4[ （1）2 （） + （0）]得二阶微分方程（） = ，解微分方程可得其通解为： （）= + +，作辅助函数（） = （）。为了使得（）满足罗尔中值定理的条件，需令（0）=（）=（1）=0，可求得， = （1） （0）， = （0）。故构造辅助函数（） = （） （ （1） （0）） （0）。
证明：记 = 4[ （1）2 （） + （0）]。
作辅助函数（） = （） （ （1） （0）） （0）。显然（）在[]上连续，在（）内可导，且（0）=（）=（1） = 0，故满足罗尔定理的三个条件。由罗尔定理有，存在（0，），（，1）使得（）=（）= 0，再次使用罗尔定理存在（，）（0，1），使得（）= 0，即（）= ，即（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，整理得 （1）2 （） + （0） = （）。
2 构造法在构造反例中的应用
数学分析的学习过程，是一个不断引出问题和解决问题的过程。而解决问题的过程通常是给出证明或举出反例的过程，因而构造反例在数学分析的学习中占有重要的地位。
例如，我们知道二元函数 （）在点（，）处沿任意方向的方向导数都存在且相等，但 （）不一定在点（，）处连续，可微，甚至在点（，）处连二重极限也可能不存在，那么如何构造出一个这样的二元函数呢？
由数学分析的知识知方向导数只和直线上点（，）的某线性邻域??= 有关，存在即可。因此，我们构造的函数要满足：①对于>0，在点（，）的任一邻域∪（，），从发出的任一方向上的都存在且相等。②在处 （）的极限不存在。这就要求在邻域∪（，）内既要有使相等的线性邻域，又要有使函数值不相等的点。依此，我们可构造该函数。因为 （0，0） = 0，所以。但在点（0，0）的任意邻域内，总能找到使 （） = 1的点，这就说明 （）在点（0，0）处的极限不存在，也就不连续，不可微了。
3 构造法在不等式证明中的应用
利用构造法证明不等式，通常是依据所证的不等式先构造出一个辅助函数，再利用导数这一工具证明不等式。
例3 设函数 （）在[]上可导，且 （）≤， （） = 0。
求证： （）≤。
证明：构造辅助函数（）= （），（<<），则（）= （）（），（） = （）≤0，有（）是单调递减函数，又因为（）= （）（） = （），所以当≥时，（）≤（）= 0，有（）是单调递减函数，又因为（）= （） = 0，所以（）≤（）= 0。即 （）≤0，故 （）≤。
构造法在数学分析的证明中有着广泛的应用，在数学分析的授课过程中适当的应用构造法解决问题，对提高学生数学思维能力、启发学生创新能力是很有意义的。
- 上一篇：小学数学教学技能训练探究
- 下一篇：肢体语言在小学数学课堂教学中的应用
