泰勒公式的教学设计研究
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（a）-0164-02
泰勒中值定理是高等数学微分学的教学重点和难点，由泰勒公式进行描述，其教学方法一直吸引着广大数学教学工作者进行研究，可谓百花齐放、百家争鸣。究其根本原因，首先是由于泰勒公式及其相关理论是进行数学理论研究和计算的重要工具，它在级数、解析函数和函数的近似计算等理论方面有着举足轻重的地位。因此，每一个理工科的学生必须掌握其数学思想、理解其本质及基本应用；其次，同样作为导数应用的基础，罗尔中值定理等具有几何意义鲜明的结论，而泰勒中值定理及泰勒公式却抽象深奥，会让大多数学生不知所云、莫名其妙，虽经充分预习、认真听课，仍感觉一头雾水、疑问重重，看不到学习目的，学习信心大受打击，造成这一现象的根本原因在于大部分学生的思维方式还停留在中学阶段，无法理解泰勒公式这种“人为”将简单问题“抽象”、“复杂”化的表述方式；最后，泰勒公式在函数性态的研究、中值问题、不等式的证明、极限的计算、函数的近似计算等内容的教学中具有基础作用，只有理解好才能用好用活。
作者在长期教学实践中，一直重视对泰勒公式的教学法进行探索，旨在使学生能较主动、轻松地学好、用好泰勒公式。以下分别从课前准备、问题引入、证明方法及例题选讲等环节介绍我们的教学设计方法及教学过程，希望起到抛砖引玉之作用。
1 泰勒公式及其教学难点
我们把泰勒中值定理叙述为如下形式：若函数在含有的某一个区间内具有直至阶导数，则它可以表示为的次多项式与一个余项之和，即
，（1）
其中在与之间，称为拉格朗日型余项。
学生的困惑之处在于：具有如此“好”条件的“非常光滑”的函数，为何要用右边的不知为何物的式子表达？右边是多项式吗？为何要用的多项式？为何还有“特别的”一项，它到底有何作用？公式到底想表达什么？
泰勒公式让学生疑问重重，它的证明更加费事。比证明公式更加重要的是，如何将证明中抽象、复杂的逻辑思维“变”得具体、简单，从而帮助他们主动、轻松地接受其数学思想。
我们认为，一个好的教学设计，至少应该基本解决学生的上述疑惑，精心设计课前准备、问题导入、证法选择及例题选讲等教学环节，通过各环节的密切配合、有机整合，使教学过程深入浅出、一气呵成！带领他们不断深入、逐步领悟泰勒公式蕴含的数学思想，达到学以致用。否则，硬性强记泰勒公式，不去领会其本质，公式就会沦为“依葫芦画瓢”的机器。
2 泰勒公式的教学设计
（1）课前准备。
课前教员要帮助学生“有的放矢”地进行学习准备，即进行预习。
我们将学生分成几个小组，每组由组长负责。给他们精心设置了两个任务：①将多项式写成为的多项式的形式，选择一个“初等”的方法完成这一任务。再试一试，分别用两个多项式去计算时的值，难度有差别吗？如果考虑对一个的20次多项式，做同样的工作，用“初等”的方法，容易做得到吗？如果要达到较高的精度，“需要”计算的项数会有什么不同吗？计算量的差别大吗？为什么？②如何计算的值？除了查表，有无其它好的方法？
学生大多能够理解这两个任务，可以动手尝试并得到初步结论，但还不能完满回答。目的就是让他们有回味但不满足，提前做好打硬仗的准备。“有意思地”留下悬念，通过“任务驱动”，使他们产生学习的动力。实践证明，这样有针对性的预习，能收到更好的效果。
（2）问题导入。
有了较充分的课前准备，首先教员直接出示上边的两个问题，激发同学们的讨论，并请组长作代表发言，然后帮助学生进行问题抽象，导出第一个知识点。
（3）多项式的泰勒公式。
第一个问题，本质上就是要将的多项式展开为的多项式，这个问题学生大多做过思考，对于及，已经有了初步的想法和结论。可让组长介绍其课前准备的成果，通过互相评价、激发思考。再给学生讲解如何运用求导的方法确定多项式的系数，揭示只需分别求出及各阶导数，就可得到，于是
（2）
部分学生可能根本不明白为什么要这么做，但事实是通过式（2）计算系数，确实简单多了。多项式是最简单的函数，通过两种不同方式计算，可能还感觉不到差别，甚至有后者“更麻烦”的感觉。要化解这一“矛盾”，教员再直接展示下述例子及其结论：
现在要把次数较高的多项式展开成的多项式，并用两个表达式分别计算，用初等的方法就办不到了。首先，由式（2）可得
。（3）
很明显，用计算，可得
，
其计算量很大。但用式（3），计算前4项，有
，
就可得到相当精确的值。其计算简繁差别之大，比较之下就可见一斑了。
这时，学生可能看出了问题所在。原来，当我们研究一个函数（比如最简单的多项式）在某点（比如1）附近的性态时（比如计算函数值、求切线的斜率、曲率等），将函数在该点“展开”，可能带来很大的便利。这也许正是教员不厌其烦对函数进行“展开”的原因之一！
学生初步明白了“展开”可能带来更多的“好处”，教员就可以适时导入另一个问题了。
②如何计算的值？除了查表，有没有其他方法？
不是多项式，是不是也可以通过在“展开”成的多项式来近似计算即呢？这时的“展开式”还是像式（2）一样也是等式呢？
（3） 证明方法。 学生的疑问在于，尽管一个多项式完全可以像式（2）那样展开成为另外一种多项式的形式，但对于像这样的函数，为什么也要这样做呢？难道也是为了研究其性态吗？尽管它在任意点有任意阶导数，它能与一个多项式按如下的方式画上等号吗？
。（4）
这时教员可立刻启发学员，很明显，就在而言，式（4）右端的阶导数已经恒为0，但左边在任意点的各阶导数均大于0，可见（4）不能成立。
但是，教员也应提示学生，根据式（2）的推导过程，要将展开成一个多项式形式，其系数也必须是（4）右端的形式！同时，可请学生们观察右端多项式在处的函数值、导数值、二阶导数的值，让他们明白用右端的多项式来近似其实十分自然！
教员再启发学员：其实，与研究多项式的展开一样，展开的主要目的也是为了研究其性态！能否将用一个多项式来近似呢？再提示微分是常用的近似计算的基本方法，进而展示学习微分时常用的近似式，即
，（5）
这样很小时，就有，即。
因此，。虽然提供了在近旁计算指数函数值的一个方法，但直观上学生会感到有些失望，首先其精确度不高，其次没有估计计算的误差。但是式（5）也给学生启发，就是式（4）的出发点可能没错，只不过，（4）的等号要保留，右边必须加上刻画误差的项，但这个项是什么形式？与什么有关？学生还不得而知。
教员这时可直接从较为简单的式（5）入手，设想，现在要确定。我们很自然想到将与进行比较（为什么？可留给学生思考并讨论）。这时，二者可能不会直接相等，会是什么关系呢？这时，教员可鼓励学生思考，二者在处的函数值、导数值关系如何？二阶导数的值呢？然后直接出示下述结果：
，
很明显，能考虑的就是与之比了。因此，教员展示以下推导，每一个“关键”等号的推理依据、的范围等，则提问学生作答：
，
因此，得到，从而
， （6）
其中，在与之间。这样，误差就被准确地刻画出来！式（6）就是一阶泰勒公式，上述推导是本课的重点。此时，教员就可以点拨学生：有没有所谓的“零阶”泰勒公式呢？再展示拉格朗日公式，再问：“零阶”到“一阶”作了什么改进呢？有了“一阶”，能否受此启发，也改进到“二阶”？再揭示答案：零阶到一阶，多项式次数升一阶，即将零阶的换为，再加上即可！因此，“一阶”到“二阶”，只需将式（6）的换为，再加上即可！也就是
，（7）
理解了确定的思想，确定的过程也就水到渠成，这时，可先由学习较好的学生猜想其形式，然后适时出示以及二阶泰勒公式
。（8）
讨论到此处，有了的零阶、一阶和二阶泰勒公式的启发，学生大都已经渐渐明白，原来也可以像多项式一样，在形式上展开为的多项式，只不过点以及展开的次数均应根据条件和需要进行选择，而且余项形式非常明确。
最后，教员还应启发学生思考和猜测：在上述过程中，要求满足一些什么样的条件呢？是的，只要“函数在含有的某一个区间内具有直至阶导数”，阶泰勒公式是什么形式呢？是否也可表为的次多项式与一个余项之和呢，即
。
更进一步，如何证明上式呢？采用什么方法好？其实，上边从（6）到（8）的过程已经给出了归纳递推的关键思路。只要采用数学归纳法，就可以完满地证明泰勒公式。这个过程比之教材中不厌其烦地多次运用柯西中值定理，更贴近学生的实际，容易为他们接受。
泰勒公式的导出过程由浅入深、逐层递进，其逻辑思维连贯性强、一气呵成。经过课前准备、问题导入后，学生大多能轻松参与、自主学习。教学实践证明，能获得很好的效果。
在此基础上，教员再给学生揭示泰勒公式的几何意义、物理意义，介绍与泰勒公式相关的麦克劳林公式等基本概念，并介绍误差估计方法，加深学生对泰勒公式意义的理解。
（4）例题选讲。
为帮助学生加深对泰勒公式的理解，回应导入课程的第二个问题，我们设计了以下例题：
例1 求函数的麦克劳林公式，并近似计算，要求误差小于10-4。
解：由，其中。考虑区间
[-0.1，0.1]，当，此时
易见，只需取，即可确保误差小于，此时可取。
例1的分析和求解过程的每一步都可看作帮助学生进一步认识泰勒公式意义的重要过程，通过这一过程中教员和学生的互动，再次强化了学生对泰勒公式的理解。
泰勒公式是高等数学教学中不可回避的难点，又是求解应用问题的重要基础，教员应该大力钻研其教学法，确保教学效果。多年来，我们通过不断地探索和研究，在教学实践中反复改进其教学设计，通过“问题驱动”、“情境创设”，使学生在积极参与、轻松实践中“内化”泰勒公式的数学思想，体会数学推理的无限魅力。
