地方院校《数学分析》课程教学改革的探索与实践
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）31-0112-03
一、引言
《数学分析》是数学专业最重要的必修基础课，是实变函数、复变函数、泛函分析、微分方程、微分几何、概率论等课程的必要基础。《数学分析》也是应用性很强的一门数学课，《数学分析》中体现的数学思想、数学方法、数学能力是数学在实际中应用和进行数学理论研究的基石，通过《数学分析》课程教学要使学生受到基本和严格的数学训练。《数学分析》教学的成功与否直接影响后继课程的学习和运用数学知识解决实际问题的能力。《数学分析》在成书的体系编排上与另一本通用教材――《高等数学》十分接近，但在实际中，后者是工科学生的必学教材。另外，虽然从形式上看，二者十分类似，但仔细分析其中的教学内容，就会发现二者的区别也是十分明显的。表现在：其一，难度上不同。总体来看，《高等数学》的内容无论是跨度还是深度都在《数学分析》之上，因而，对学生而言，也能更直观地感受到前者学起来更困难。其二，培养能力的角度不同。教材的编排可以体现教育者的教学目标。“高数”更侧重于培养学生的数学计算能力，通过计算解决问题，找到结果；而《数学分析》则旨在通过教学提高学生利用数学逻辑分析问题的能力，教给他们分析方法，更侧重于过程的教学。通过对比可以发现，《数学分析》可以说是对“高数”的一种补充，二者是互补的关系，各有自己的侧重点。相较于看重结果和计算的“高数”，学生通过《数学分析》的学习，可以使自己掌握更多的分析问题的技巧和能力，其中也会逐渐获得数学逻辑思维能力、想象能力、抽象思考能力等，对学生培养其学习的自觉性和创造性是非常有益的科目。
《数学分析》课程是数学专业学时最多的一门课，各高校根据各自情况设置的学时数稍有不同，一般为240～320学时之间，跨度为三个学期，个别高校《数学分析》课程跨度为四个学期。
《数学分析》课程是数学专业本科生课程中难度最大的课程之一。《数学分析》课程的培养目标是要求学生熟练掌握数学分析的基本理论与基本方法，培养良好的数学思维能力和思维习惯，为应用数学知识解决实际问题及后继课程的学习打下坚实的基础。该课程不仅要求学生学会基本运算技能与技巧，还要求学生掌握大量基本理论的证明方法，难度远高于工科学生学习的《高等数学》。
这并不是一门新兴的课程，事实上，至今已经历经多次教学改革，它也在改革中不断完善，形成了如今完整紧凑的教学体系[1]。在解放之前，这一课程分为初、高等微积分两步进行教学。前者主要是教授基础的运算和应用，到了高级阶段，才涉及高深的理论。这种教学安排的优点在于入门容易，但这种做法导致耗时较长，理论跃度太大，学起来困难较大。后来，在吸取了苏联教学模式的经验后进行了重新编排。这一时期的《数学分析》的教学重点放在了极限理论上，因此，学生可以很快接触到高等数学的理论，同时又有了极限理论的基础，学习其他的高深理论也更容易。但同时难度也大大增加了，入门更困难，也让不少学生从一开始就产生了畏难心理，失去了学习的兴趣。这一时期的《数学分析》也被称为“大头分析”，虽然提高了学生的理论水平，但也忽视了对应用能力的培养。
二、地方院校《数学分析》课程教学中存在的问题
要找到解决方案，先要对现状进行剖析，找到症结所在。
（一）课程的难度容易引发厌学的情绪
这一门课程包含的内容丰富，涉及许多的版块、概念、分析方法等内容，其中还涉及许多推理和证明的内容，不仅与学生之前所学不同，而且难度很大，难以激发学生的兴趣。同时，这门课程的内容庞杂，教学课时也长，因为内容难度较大而且生疏，学生在初学阶段入门困难，容易产生畏难的情绪。另外，在学习《数学分析》课程的同时，通常还要学习其他必修课程或参加资格考试，容易分散学生的精力，增加学习的压力。
（二）课堂教学过程枯燥
由于学时的限制，在规定时间内必须完成教学大纲规定的教学内容，加上内容较难，教师很难在课堂上采用多种教学方式。因此，在教学方式上，《数学分析》课程教学一直沿袭“满堂灌”、“注入式”的教学方法，主要停留在一本书、一支粉笔、一面黑板的教学手段上，这就使《数学分析》教学比较枯燥，有的学生甚至对这门课程产生了厌烦心理。
（三）地方院校生源质量不佳，加大了《数学分析》教与学的难度，学生难学，教师难教
重点大学生源质量好，可以挑选出优秀的学生学习数学专业。然而，值得指出的是，对于大多数地方院校来说，数学专业学生和工科学生入学时的起点是一样的，甚至一些地方高校数学专业学生入学时的分数明显低于一些优势专业的录取分数。基础较好的工科学生学习《高等数学》尚有很大难度，基础相对薄弱的数学专业学生学习《数学分析》的难度就可想而知了。对于全国占大多数的地方本科院校来说，学生基础本来就不是很强，学起《数学分析》对于大部分同学来说就像是听天书，这是多年来我们讲授《数学分析》课程的深刻体会。于是很多学生就产生了畏难情绪，由刚入学时的豪情万丈变得情绪低落、不爱学习甚至逃课。更有甚者，实在学不下去只有转专业。有一些努力学习的同学虽然下了很大功夫，但是也很难做到理论与计算兼顾，往往是计算能力不强，理论水平更弱。 另一方面，目前我国高等教育由精英化教育转向大众化教育，地方院校生源质量下降是一个不争的事实，如何探索出一条适合大众化教育的教学体系是高校教师面临的一项重要挑战。因此，针对地方院校《数学分析》课程的教学改革势在必行。目前有不少文献研究《数学分析》课程的教学改革与实践[2-10]，但仍未见到专门针对地方院校《数学分析》课程的教学研究成果发表。
针对这种情况，本文针对地方本科院校《数学分析》课程进行教学改革，针对该课程的教学内容、体系与结构进行教学改革实践，期望在“初高等微积分”和“大头分析”之间，走出一条循序渐进的道路，即找到一套由简单到复杂，由具体到抽象，由计算到理论，使学生能够既见树木，又见森林的教学方案。该教学方案既能保证整个体系在逻辑上的完整性，从而使学生掌握严格的分析理论，又能使学生比较容易、快速地接受理论。该方案的实施能够既适合学生学习，又能顺利达到培养目标。该方案包括课程教学内容的选取、教学体系的安排、教学方法的探索等，为地方高校数学专业《数学分析》课程教学提供一定的借鉴。
三、《数学分析》课程改革的方法和改革内容
首先，根据教育部教学指导委员会制定的《数学类专业规范和教学基本要求》，制订出适合地方本科院校《数学分析》课程教学的教学大纲，包括课程教学内容的选取、教学体系的安排等内容。其次，根据制定出的教学大纲编写相应《数学分析讲义》，而后在教学中使用，最后根据使用情况进行改进、完善。
对地方本科院校数学学科基础课程《数学分析》教学内容、体系与结构的优化重组，找到一条适合地方院校数学专业学生学习《数学分析》课程的新途径。
将《数学分析》课程教学分为三个阶段。第一阶段为大一两个学期，第二阶段为大二第一学期，第三阶段为大四第一学期。
第一阶段称为简单阶段、计算阶段、感性阶段。在这一阶段，降低难度，基本按照《工科数学分析》的教学内容进行讲授，但又有所不同，做到既自成体系，又不太难，让学生先对微积分的内容与运算体系有了较为简单的、感性的认识，不要求学生会做多难的证明题，但要求学生熟练掌握计算。通过计算逐步培养起学生对微积分概念和体系的理解。
第二阶段称为复杂阶段、理论阶段、理性阶段。在这一阶段，在学生已经掌握了微积分运算的基础上，将微积分体系提高到理论高度，对非正常积分、无穷级数、实数连续统等《工科数学分析》要求较低的内容提升到《数学分析》的要求上，让学生对基本概念、重要定理和结论的内容及其证明方法有了相当程度的了解。通过对定理的证明加深对微积分内容的理解。
第三阶段为提升阶段、理性阶段。前两个阶段已经完成了《数学分析》基本内容的教学，这一阶段作为选修课放在大四第一学期，叫做《数学分析选讲》，主要针对有志于报考研究生的学生进行理论与计算上的进一步提升，使得他们的理论证明能力和计算能力更上一层楼。对准备报考数学专业研究生的学生进行理论培训，将超出《数学分析》基本教学内容，但又是各高校考试内容的内容传授给学生，使其理论推导能力进一步提升。对于准备报考非数学专业研究生的学生进行计算培训，讲授常用的计算技巧，使其计算能力进一步提升。
将每个阶段的《数学分析》课程分为三个子课程，即“数学分析精讲”、“数学分析精读”和“数学分析习题课”。
“数学分析精讲”由具有该课程丰富教学经验的教授或副教授担任主讲，主要向学生传授该课程的知识与科学思想，构建起内容体系的框架，并引入一些实际问题，将内容与该部分内容可以解决的实际问题联系起来，引起学生的兴趣。
“数学分析精读”由具有丰富教学经验的副教授或讲师担任主讲，带领学生学会如何预习、听课、做笔记、提问、解题、归纳、提高等。主要内容包括以下四个方面：一是内容精读，简要概述每节中的基本概念、重要定理和公式，并对要点与难点做适当分析。二是疑难解答，解答在《数学分析》学习过程中可能遇到的一些疑难问题，主要涉及某些概念的理解、重要定理的应用、解题技巧的总结及某些模糊问题的辨析。三是典型例题，选取若干个紧扣内容的典型题目，通过分析和求解，使学生从中得到启发，有助于提高分析问题和解决问题的能力。四是巩固提高，配套一定量的题目，使学生所学的方法和技巧得以应用，进而达到巩固知识，提高能力之目的。
“数学分析习题课”由讲师或助教主讲，带领学生完成相当数量的习题，巩固和提高在“数学分析精讲”和“数学分析精读”课上学到的知识。经过批改后，在习题课上总结出学生解题过程中出现的问题，并将学生在解题过程中一些闪光的思想向全体同学加以推广。同时，可以提供一些开放式的题目，促使学生自己去思考。
研究内容可以由图1体现。
改革的成果是在原有培养目标不变的情况下，制订出地方院校适用的数学专业基础课《数学分析》教学大纲及编写相应的《数学分析讲义》与《数学分析习题课讲义》，经过在学生中试用，效果显著。
四、结论
本文针对基础相对较弱的地方本科院校数学专业基础课《数学分析》的教学改革进行分析，找到一条适合学生学习的新途径，由具体到抽象，由计算到理论，使学生能够既见树木，又见森林，能够既适合学生学习，又能顺利达到培养目标。改变了《数学分析》课程的传统教学模式，由简单到复杂，由感性到理性，由具体到抽象，采用完全符合认知规律的方法进行教学，对地方院校数学专业基础课的教学改革具有一定的理论价值和借鉴作用。
