科教协同理念下数学课堂中的案例收集
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0176-02
一、引言
课堂教学是高校人才培养中最为重要的环节，为了进一步提高教学质量和解决当下若干突出的教与学之间的矛盾，课堂教学方法的改革必须与时俱进，务实求新[1-6]。当下存在的主要问题包括：（1）学生上课的积极性不够高。作为教师，面对此种情形，应该要想方设法进行教学方式的调整和改革，调动学生的学习积极性，为提高教学效果和质量奠定基础。（2）学生对理论知识的理解和把握能力严重不足。数学是一门极其抽象的科学，传统的教学内容学生普遍感觉理论性太强、定理太多、公式太多、知识点太多。通过平时的交流和课程考试情况分析来看，学生对基础理论知识掌握得很不好，因此，必须在教学方式方法上进行适度改革。
我们的科研方向之一是复杂网络上的同步动力学与传播动力学研究，基于此研究方向以及日常生活事件，针对《数学分析I》中的各章[7，8]，分别例举一至两个实例，在课堂中向学生们进行介绍，从而提高学生的学习积极性以及加深他们对相关概念的理解力，并且让学生们体会到数学知识在解决实际问题中的重要性。
二、案例收集
1.实数集与函数。
例1.1 实数分为有理数和无理数，无限不循环小数为无理数，其他实数皆为有理数，如果一个数是实数的话，那么一定可以写成p/q的形式，其中p，q为整数，q≠0，否则就是无理数。生活当中我们与实数常常打交道，例如大家平时去超市购物，所花费的费用都是实数，费用属于[0，+∞）这样一个实数集合，并且是有理数；同学们的考试成绩都是实数，并且成绩通常属于闭区间[0，100]这样一个实数集合；同学们中学阶段常常用到的圆周率π也是实数，并且它是一个无理数。实数集具有完备性，即连续性，此内容将在本门课程中详细讲解。
例1.2 假设本班有n个学生，从1开始对每个学生进行编号，这样的话，每个编号就对应一个体重，不会出现“存在一个编号对应着两个不同体重”的情况。事实上，这种对应关系就确定了一个函数。定义域为D={1，2…，n}，对应法则f为“每个编号对应着该学生的体重”。
2.数列极限。
例2.1 奥运会中，每个运动项目都有世界纪录，这个纪录就是今后其他运动员挑战的极限，当然，该极限与我们数学中的极限还是区别的。因为当世界纪录被打破之后，该极限就不是极限了，而数学中的极限具有唯一性。设数列{a■}的极限为a，则当下标n充分大时，a■与a充分接近，其中a为一个确定的有限的数。
例2.2 利用Matlab求数列{1/2■}以及{2■}的极限。
针对数列{1/2■}的Matlab程序可如下编辑：
n=100；
an=zeros（1，n）； %定义数列的一般项
for i=1∶n %利用for循环语句
an（i）=1/（2^i）； %计算一般项的值
end
plot（an）；
该程序运行的结果随着n充分大时，1/2■与0充分接近，因此该数列的极限为0。
针对数列{2■}的Matlab程序可如下编辑：
n=20；
an=zeros（1，n）； %定义数列的一般项
for i=1∶n %利用for循环语句
an（i）=2^i； %计算一般项的值
end
plot（an）；
该程序运行的结果随着n充分大时，{2■}趋向于无穷大，不与任何的有限数靠近，因此该数列没有极限。
3.函数极限。
例3.1 当前复杂网络上的传染病动力学是学术界的一个热点研究课题，该问题与人类的健康与生存息息相关。在研究复杂网络上的传播动力学时，常常会碰到这样一个函数I（t），它表示在t时刻整个网络中感染个体的密度，例如网络总人口为1000人，如果在 时刻有500人被感染某种传染性疾病，则I（t）=0.5。一个重要的理论问题是，在什么样的条件下当t→+∞有
I（t）→0。这个问题就牵扯到一个极限问题，它涉及到动力系统中平衡点的稳定性问题。
4.函数的连续性。
例4.1 设T（t）表示在t时刻的气温，当时间变化很小时，气温的变化也很小，从而T（t）是连续函数。大家在使用鼠标的时候，如果设置合理的话，当你轻微地移动鼠标的时候，电脑屏幕上的光标也会轻微地移动，即连续地移动；如果设置不合理，或者设备出现故障，当你轻微移动鼠标的时候，电脑屏幕上的光标会剧烈地移动，即不连续地移动。
例4.2 近二十年来，复杂网络上的同步动力学是学术界的一个热点研究课题，它在许多领域都有着广泛的应用，例如保密通讯、参数辨识以及多智能体系统的一致性等。设x（t），y（t）是两个不同系统的状态变量，当t→+∞时，如果有x（t）→y（t），则称x（t）和y（t）同步，这里一个通常假定的前提条件是x（t）和y（t）都是关于时刻t的连续函数。
5.导数和微分。
例5.1 无论是研究复杂网络上的同步动力学，还是传染病动力学，常被研究的数学模型可以抽象为以下的常微分方程：
■=f（x（t））
我们可以看到，该方程的左边就是函数x（t）对时间t的导数，f（x（t））指的就是函数x（t）的变化率，x（t）的变化规律完全由f（x（t））确定。进一步，我们可以得到 dx（t）=f（x（t））dt
这里dx（t）就是函数x（t）的微分。
6.微分中值定理及其应用。
例6.1 网络传播阈值分析是研究复杂网络传播动力学的一个关键问题。在求解传播阈值时，常常会讨论自我维持方程的非平凡根（非零根）的存在性问题，针对该问题可以利用函数的单调性与导数之间的关系进行解决。
该问题可如下描述：
考虑自我维持方程θ=■■kp（k）■
其中θ表示在网络中随机选择一条边并指向感染节点的概率，p（k）表示网络的度分布函数，定义为在网络中随机选择一个节点，其度为k的概率，〈k〉=
∑kp（k）表示网络的平均度，λ为疾病的传染率，即健康个体与感染个体接触时，在单位时间内健康个体被感染的概率。问题是：在什么条件下上述关于θ的方程存在非零根？为此，记上式右边为f（θ）显然非负函数f（θ），θ∈[0，1]可导，且满足f（0）=0，f（1）<1。结合几何分析，容易得到，只要f'（0）≥1，则θ=f（θ）至少存在一个非零根。
三、结束语
在科教协同理念下，本文针对《数学分析I》课程的各个章节，分别给出了一些具有代表性的案例，力求趣味性和实用性。通过这些案例的收集，必将丰富课堂教学内容，使学生体会到数学知识的魅力。同时，结合Matlab数学软件，将一些数学问题以比较直观的方式展示出来，不仅使学生加深了对基本概念的理解，而且培养了学生运用计算机解决数学问题的能力。
在今后的教学过程中，我们将进一步完善案例收集和分析工作，保留学生感兴趣且容易理解的案例，并不断增加案例库的内容，为提升课堂教学质量打下良好的教学资源基础。
