浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”.下面分析一下分类讨论思想在中学数学中的应用.
一、分类讨论思想在集合中的应用
例1.设A={[x] -2≤x≤a}，B={[y] y=2x+3，x∈A}，C={[z] z=x2，x∈A}，且C?B，求实数a的取值范围。
解∵A={[x] -2≤x≤a}，
∴B={[y] y=2x+3，x∈A}
={[y] -1≤y≤2a+3}.
（1）当-2≤a≤0时，C={[z] a2≤z≤4}，因为C?B，所以4≤2a+3，解得a≥，
与-2≤a≤0矛盾.
（2）当0 解得a≥，
故≤a≤2.
（3）当a>2时，C={[z] 0≤z≤a2}，因为C?B，所以a2≤2a+3，
解得-1≤a≤3，
故2 综上可得[a]
≤a≤3.
二、分类讨论思想在函数中的应用
例2.已知函数f（x）=2x2-2ax+3在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a），求g（a）的函数表达式.
解：原式配方得y=2（x-）2+3-，
其对称轴方程为x=，
（1）当≤-1时，即a≤-2时，y在[-1，1]上递增，
在x=-1时，g（a）=2a+5；
（2）当-1<<1时，即-2 在x=处有最小值，g（a）=3-；
（3）当≥1即a≥2时，y在[-1，1]上单调递减，
在x=1时，g（a）=5-2a；
综上所述可得g（a）=2a+5，（a≤-2）
3-
（-2 5-2a，（a≥2）.
三、分类讨论思想在不等式中的应用
例3.解关于x的不等式x2-（a+a2）x+a3>0.
解：（1）当0a2，不等式的解集为{[x] xa}；
（2）当a=0时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x≠0}；
（3）当a≠1时，a=a2，不等式解集为{[x] x∈R且x≠1}；
（4）当a>1或a<0时，a 四、分类讨论思想在排列组合中的应用
例4.在正方体的顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？
解：依题意，共线的三点组可以分为三类：
（1）两端点皆为顶点的共线三点组，共有=28（个）；
（2）两端点皆为面的中心的共线三点组，共有=3（个）；
（3）两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有=18（个）
所以总共有28+3+18=49（个）。
五、分类讨论思想在数列中的应用
例5.已知数列1，2x，3x2，4x2，……，求它的前n项和.
分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑x=0这一情况.
解：设Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，
（1）当x=0时，Sn=1；
（2）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=；
（3）当x≠0且x≠1时，
由Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，
得xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn，
两式相减：
（1-x）Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn=-nxn，
∴Sn=.
综上所述：
Sn=1，（x=0）
（x=1）
，（x≠0且x≠1）.
通过探讨分类讨论思想在中学数学中集合、函数、不等式，排列组合等中的应用，我们应用正确的分类讨论思想，对不同情况进行分类研究，使问题化整为零，各个击破，再积零为整，从而使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.所以，在教学中教师应该渗透分类讨论的思想，让学生充分感受并掌握这种思想.
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