椭圆的参数方程教学案例
中图分类号：G63文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）01（B）-0000-00
一、 案例背景
依据美国学者埃德加?戴尔（Edgar Dale）1946年提出的“学习金字塔”（Learning Pyramid）理论，依照新课程标准中的要求打造以老师为主导、学生为主体的高效课堂。
1、教材分析
相对于曲线的一般方程，参数方程是曲线的另一种代数表现形式，在某些方面具有一定的优越性，而椭圆的参数方程是其中一个重要的内容。从教材的编排看，椭圆的参数方程被安排在圆的参数方程与双曲线的参数方程之间，它起着衔接，过渡，承前启后的作用。
2、学情分析
学生已经掌握了椭圆的标准方程、图像和性质，能够简单的应用，但是对于一些求最值的问题感到计算比较困难。本节课椭圆的参数方程的教学应该帮助学生解决好：1.能从类比圆的参数方程的建立得出椭圆的参数方程；2.引导学生体会椭圆参数的几何意义；3.能利用椭圆的参数方程解决有关的问题。
3、教学目标
知识与技能：通过探究活动，了解椭圆参数方程及椭圆规的设计原理；
过程与方法：有应用参数的意识，能用椭圆参数方程解决一些简单问题；
情感态度价值观：通过观察，探索的学习过程，培养探究能力和创新意识.
4、教学重点：椭圆的参数方程的建立.
教学难点：椭圆参数方程的应用.
5、教学用具：实物展台，投影仪
6、教学流程：目标引入――自主探究――分组讨论――自主实践――反思总结
7、教学方法：自主探究式教学
8、教学课时：1课时
二、教学步骤
1、目标引入：复习回顾圆的参数方程并提出问题――能否根据课本上推导圆的参数方程的过程推导出椭圆的参数方程？引入课题并板书课题――椭圆的参数方程。
2、自主探究，发现新知
探究1： 以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？②再问学生选择该参数的理由；③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xOA=θ，点M的坐标为（x，y）。
则x=ON=|OA|cosθ=acosθ，
y=NM=|OB|sinθ=bsinθ。
即 （θ为参数），这就是点M轨迹的参数方程。
最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；
【正确理解椭圆离心角θ的几何意义】
1.给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。
2.初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xOA≠∠xOM；②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？
3、分组讨论，体验应用
探究2：椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示. 在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块 ， ， 它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆.你能说明它的构造原理吗？（提示：可以用直尺 和横槽所成的角为参数，求出点 的轨迹的参数方程. ）
4、动手实践，深化知识
探究3：已知椭圆 .若 是椭圆 上任一点，求 的最值
5、学生小结
知识方面：
思想方面：
6、布置作业：课本 思考题
三、结语
1.注重学以致用。课堂不应该是 “一言堂”，学生也不再是教师注入知识的“容器瓶”，课堂上，老师应为学生讲清楚相关理论、原理及思维方法，做到授之以渔，而非仅是授之以鱼。保证活跃的课堂气氛，进一步激发了学生的学习潜能。
2.教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出椭圆参数方程的生成过程，让学生直观观察参数的影响。
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