关于数学“章头图”教育属性的若干思考
任何变化的事物背后，总有不变的物质支配着，这是科学与哲学的认识信念.生物学关心遗传因子，化学关心元素，物理学关心基本粒子，哲学关心普遍的规律[1]，“章头图”聚焦教与学事物的总体属性.《义务教育课程标准教科书数学（苏科版）》从结构观出发，认证本套教材每章的开头部分设置：章头图，章头语，章头问题，本章内容的概述.这些结构性元素投射了章节、单元、学段内容的主题线索及其内部关系的逻辑焦点，而“章头图”居于思想统领地位，因此研究章头图更具现实意义和前瞻影响，突出素养教育的逻辑目标.
仔细说来，从结构主义学派[2]的数学流变性出发，可以把教科书的“章节内容”近似地看作是一座城市，城市中心的巨大建筑物，就好比是章头图；城市的郊区正在不断地向外伸展，这就好像是尚待开发的章头问题；同时，市中心又在时时重建，每次都是构思清晰的计划和合理的布局，在拆毁掉旧的断街小巷的同时，将修筑起新的更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，这就是章头语以及章内容概述的价值指向.
章头图的认知地位支配着章序言立意的维度特征，关乎知识技能、关乎数学思考、关乎问题解决、关乎情感态度、更关乎审美选择与素养建模.在这里，着力研究章头图与审美直觉属性、课程目标属性、问题解决属性以及学科素养属性的内部关系，为有素养的教与学提供形而上的“思想”和形而下的“器识”，进一步落实数学素养教育的可能目标.
1章头图与审美直觉属性
审美直觉是数学创造的心理基础，而章头图是诱发直觉的客体对象，是创造行为发生的依附载体.为此，章头图与审美直觉属性发生了不可忽视的关联.Hadamard在《数学领域的发明心理学》[3]一书中，从无意识直觉的选择作用出发，详尽论述了数学直觉的心理要素，指出数学直觉的本质就是“美感”或“美的意识”.数学教科书章头图是直觉审美的有效载体（运动变化的摩天轮等），是学生视觉思维活动的媒介，一直发挥着无意识渲染美的实体作用.就这个意义上说，章头图所蕴含的美的规律，叠合成美的本质与审美直觉的自由度具有内部关系一致性.
于此说来，出于直觉思维的整体性特点[4]，数学美常蕴藏在数学学科的基本结构之中，蕴藏在数学对象的相互联系之中，蕴藏在数学方法的共通之中.章头图作为学科结构的基本成分（测重天平等），起到聚焦主题的导航作用；作为研究对象的一种具体性抽象（梯子靠墙问题等），承担教学目标的领航作用；作为数学方法的概念运演形态（拼图?公式等），突出美的直觉的选择性特征.按照康德的审美经验论来说[5]，审美经验不是由单纯的感觉唤起的，也不是由简单的判断所唤起的，而是由二者共同作用，以及足以激发二者发生共同作用的事物唤起的，而且只能由其结构适合于审美本性的事物所成就.在研究者看来，这里的“事物”可以看作是章头图的替代概念，至少具有三层含义：一是图形事物本身的结构应具有相称、和谐、有序等可感知美的特征；二是图形事物的容含能集中反映章节教学主线，投射了一种选择美；三是图形事物的内部关系能表征、解释章节核心概念的本质，流动一种理性思维的自由美.
基于实证研究的需要，在这里，不妨从章头图“摩天轮”的审美作用说起，揭示章头图与审美直觉属性的内部关系，并以此示范章头图教学的审美力量.
苏科版九年级《数学》上册封面以“摩天轮”为主题图，突出了“圆”这一章在教材中的重要地位（圆是初等数学学习的重要内容，能为后继高中段学习提供思维地气）；“第2章对称图形――圆”的章头图也是以“摩天轮”为主图，形象地突出圆的概念特征（一中同长以及旋转不变性），也能为后续抽象出“垂径定理”（垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧）埋下思维的伏笔.苏科版九年级《数学》下册“76节用锐角三角函数解决问题”“问题2”的几何背景也是以“摩天轮”为认知载体，突出引导学生经历从生活到数学抽象的特征，利用学生学过的锐角三角函数的相关知识解决实际问题的全过程.鉴于章头图（摩天轮）的承前启后和承上启下作用以及审美体验功能，平常教学中要重视章头图的使用，并尽力用好，使其发挥应有的审美教育功能.
从审美的角度来说，用好“摩天轮”这一章头图，需要在圆概念起始课前设置“微型数学活动课”，一般20分钟左右.具体表现出三个结构层次：首先是让学生观察摩天轮的结构图，研讨交流各自的发现，指出其属性特征，并说明自己觉知到哪些美感；其次是让学生在观察研究摩天轮概念图的基础上，提出可能研究的问题以及可能获得的结论；最后是让学生借助课本，经历水平抽象（生活→数学）和垂直抽象（数学→数学）的思维过程，形成垂径定理的产生式系统（在⊙O中，若直径AB垂直弦CD于P，则有PC=PD，弧AC与弧AD、弧BC与弧BD分?e相等）以及形成静态圆和动态圆的概念集合观.如果说“发现属性”的过程就是审美直觉作用的过程，那么提出问题的过程就是直觉选择美的过程，则概念产生式形成的过程是审美理想实现的过程，终于章头图的思想统领地位的确立和审美水平的线性上升.事实上，章头图的“教学现实”不容乐观.日常研究章头图教学作用的不多见，间或研究是源于展示课、赛课以及示范课的驱动.因此章头图的美学价值一惯流失.建议教研部门要在评价政策上进行倾斜，切实使得“用好教材”“用好章头图”成为审美行动.正如“科学结论的合理性要在它的审美价值中去寻找，并用它来判断科学方法的合理性”[6]一样可靠.
2章头图与课程目标属性
课程目标是教学目的的替代概念，是现代教育评价学[7]研究的对象.即“以教育为对象，对其效用给予价值上的判断”.课程目标始终支配着数学教育实施方向和具体教学目标的走向，“章头图”作为数学教育研究的一种形象载体，是完成课程目标的一种客观对象，又被课程目标的容含框架制约着，因此研究章头图教学有助于课程目标的定向落实，进而有利于数学素养的沉淀和科学精神的养成，突出“人学”教育发展观. 美国中小学数学教育的目的在于培养学生的数学价值观、自信力、思想交流力、思维力和问题力，并用动词理解（understand）、解释（interpret）、发展（develop）来描述；英国2008（QCA）最新颁布的数学课程标准最终目标[8]：成功的学习者（successful learners）、自信的个人（confident individuals）和具有责任心的公民（responsible citizens），并用解决（solve）、发现（find）和探究（explore）来刻画；我国的数学课程教育目标在于培养学生的“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）和“四能”（发现和提出问题，分析和解决问题），用经历、体验、探索来表征过程性目标.不难发现这些素养性目标属性都带有强烈的实践性特征，反映课程教育对公民的“社会参与维度” [9]这一培养方向（实践意识→实践行为→实践意识），数学章头图是学生开展实践学习的重要载体，有助于在地性数学观的正向形成.
就目标属性得以实现的本身来说，无论是数学价值观、成功的学习者抑或是“四能”的发展都需要学生拥有自觉研究的意识.作为实践的数学课程（旗杆高度的测量等），“章头图”是研究性学习的最好载体.因此，章头图是课程目标的具体化，研究章头图教育属性的过程，就是课程目标素养得以层级的过程.
就目标动词的行为功能来说，“发展”“探究”“体验”都带有“数学自我概念” [10]（学生在学校情境中形成的，对自己在数学学业方面的特长、能力和知识形成的比较稳定的认知、体验和评价）的领导意识，支配着人人都能获得良好数学教育，不同人在数学上获得不同发展的课程理念.教学目标是课程目标的下位概念，可分为学科总目标、单元教学目标、课时教学目标.而章头图恰好能够匹配的反映这些层次性目标的支配属性，为此，研究实施章头图的课时目标对课程目标的总体发展，无疑具有“第一哲学”的教育意义.
不妨举例说明章头图与课程目标属性的实证关系.苏科版九年级《数学》上册“第1章一元二次方程”是以“梯子靠墙”为章头主图，反映一元二次方程与现实生活的密切关系，突出一元二次方程是刻画现实问题变化关系的一种心理模型.“梯子靠墙”问题是本章认知的思维导图，用好的前提是定位载体承载的目标体系，以及确立目标问题的问题反应块.具体分解过程如下：课时目标，一是在探索实际问题关系的经历中感受用方程的意义；二是在问题解决中体验方程建模的过程；单元目标，感受方程是刻画现实世界的有效模型，体会一元二次方程解法所蕴含的“转化”思想；课程目标，从已有的经验出发，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、讨论结果意义的过程.
基于“梯子靠墙”目标体系的实施，研究者对该章头图的可用性进行组织拓展：首先是让学生思考长为5米的梯子斜靠在墙上，你能提出哪些问题以及这样思考的依据；其次是让学生探讨“梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1米”，可获得怎样的数量关系，并寻求结论的合理性；再次是让学生交流“梯子的顶端下滑x米，则梯子的底端移动的水平距离的可能值？”为什么？最后是让学生通过尝试运算，演化出上述应用问题的解答方案，并指出获得答案的途径以及推理的方法根据.在这里，可以把“探讨和交流”的认知行为，看作是课时目标得以实现的具体表现，则单元目标还应包括尝试运演和自觉探寻依据的科学认知精神要素，那么课程目标还要涵盖提出问题力的监控与测量，方能落实人学教育课程素养观.
事实上，“梯子靠墙”问题不是“一元二次方程”建模的专利，还可以作为“数学实验：折纸与锐角三角函数”的前概念（长度为2米的梯子斜靠在墙上，其倾角α为60°，则梯子底端到墙面的距离是多少？）和后概念（要使上述梯子靠墙的倾角变为45°，则梯子底端前方1米远的地方有栅栏，是否需要拆除？为什么？）反映了章头图的多元认知功能.
3章头图与问题解决属性
问题解决（problem solving）属于心理学习论范畴，是学习者将原有的概念和规则加以综合，在新情境中施加应用并获得新的认知结论的过程.信息加工心理学认证“问题”是信息和目标之间有某些障碍需要被克服的刺激反应情境.章头图蕴含丰富的概念信息，为问题解决提供阶段性体验，有助于创造性学习行为的发生.根据章头问题的起点、目标和允许操作的不同，可以?⑵浠?分为界定不明确问题（ill-defined problem）和界定明确问题（well-defined problem），前者属于常规性问题（routine problem）（投币实验等离散型章头问题），后者属于非常规性问题（海腾戏水条件型章头问题）.
数学算理学中的整式运算、因式分解、方程解法等问题都可以通过模仿获得技能途径，属于常规性问题；而那些不可以通过模仿获得作答路径的逆概念、逆思维、反证法等问题行为，属于反常规性问题，中高考压轴题往往突出这一特征，能很好的考查考生的思维精准度.
鲍尔和希尔加德《学习论―学习活动规律的探索》（1981）[11]一书，论述了碰到新的陌生问题时，学习者是怎样解决的呢？刺激反应学从新旧经验的内部关系出发，认证学习者将其过去经验中与新问题有关的行为集中起来，抑或是按照新情境与以前遇到的情境的相似方面做出反应.假如这些反应不能使问题获得解决，学习者便会尝试错误，从众多的行为中发出连续的反应，直至问题得以解决.上述“梯子靠墙”章头问题，如果梯子的倾角是75°，在没给定该锐角函数值的背景下，求出梯子顶端到地面的距离具有不可求解性.为此，研究者让学生通过“折纸”方式，在观察折痕的前提下，获得该角的正切值，最终实现创造性问题解决的目标.当然，“折纸→观察→推演”都是新旧经验得以组合和改造的过程，终于形成非常规问题解决产生式系统.
奥苏泊尔从意义学习论出发，认定问题解决分为五个阶段：符号表征学习→概念学习→命题学习→概念和命题的应用→创造性解决问题.章头问题一般要经历这五个阶段，方能使得问题解决目标得以通透实现.“投币实验”章头图是古典概型的代表，通过“认识概率”的学习，学生已经积累了只要硬币质地均匀，出现“正面朝上”和出现“反面朝上”的机会均等，试验结果具有等可能性.鉴于此，要强化知识间的内在关系教学，为“等可能条件下的概率”学习做好思维铺垫.抛掷一枚质地均匀的硬币1次，出现哪些等可能的结果（正、反），直接写出正面朝上的概率；抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现哪些等可能的结果（正、正；反、反；正、反；反、正），求出2次都正面朝上的概率；抛掷一枚质地均匀的硬币3次，出现哪些等可能的结果，猜想3次都正面朝上的概率，并通过列表或画树状图进行验证；请设计一个摸球试验方案，反映用频率估计概率的统计思想. 综上可知，投币实验章头活动，旨在引?а?生体验“通过大量重复试验，用事件发生的频率的稳定值估计概率”与“等可能条件下的概率”的内在关系与区别，感悟某一类随机事件，可以根据试验结果的客观对称性或均衡性来确定其发生的概率，不必多次重复试验.在这里，从问题解决的心理秩序来说，如果把抛掷硬币1次活动看作是符号表征学习的发生，那么抛掷硬币2次活动是概念和命题学习的重要阶段，抛掷硬币3次活动是应用意识的范式表现，则设计概率实施方案是创造性问题解决的结果状态.其中，前3个活动是常规问题解决的具体化表现，后面的设计方案行为涵盖非常规问题的诸多要素，需要逆向思维的复合参与，方能实现章头图的立体功能与课程教育导向.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》从问题解决目标出发，强调让学生在解决简单的实际问题中增强发现和提出问题的能力倾向；重视多角度分析和解决问题，掌控问题解决的基本方法；关注在合作、交流与反思中形成可靠的评价意识.投币章头图恰好落实了问题解决的四个层面的问题力，投币问题包含分析解决问题能力簇以及评价意识培养倾向，编制摸球方案涵盖发现提出问题能力导向以及逆向评价体系的产生式.就这一意义上来说，章头图为问题解决提供了“好问题”“好念头”“好教育”的客观载体，问题解决的问题具有反哺章头图教育属性作用.
4章头图与学科素养属性
学科素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.素养（literacy）是指一个人的稳定的心理品质，集中反映人的学科能力.数学素养决定学习者的数学能力和数学观.使用数学章头图的能力是提高数学能力的有用途径，关乎经验质量，关乎方法水平，更关乎数学修养.教育部定了一个学生的核心素养，涵盖三个维度：社会参与的维度，自主发展的维度和文化修养的维度.学科素养属于文化修养维度范畴，这里特指数学素养.张奠宙先生把数学素养划分为四个层面：数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流.章头图本身带有强烈的问题意识特征，是引发目标问题的好素材，能为逻辑推理和信息交流提供有质量的思维经验成分.因此，章头图活动是提升数学素养的可靠载体.
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》从数学教育理念出发，认定数学素养[12]是人们通过数学教育以及自身的实践和认知活动，所获得的数学基础知识、基本技能、数学思想和观念，以及由此形成的数学思维品质和解决问题能力的总和.在这里，可以把基础知识和基本技能看作是文化修养的心理基础，则数学思想和观念是社会参与的能力基础，思维品质和解决问题能力是自主发展的素养资本.为此可以认证，好的数学教育应该用“数学活动”回应社会参与特征，用“研究性学习”呼应自主发展特征，用“课题学习”反射文化修养特征，而活动性、研究性、课题性都是章头图教育属性的外显，就这一层面来说，研究章头图的过程就是学科素养得以聚合提升的过程.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》从课程内容的质量观出发，认定发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想、应用意识和创新意识是时代教育对人才发展的需要.当然，就人类生活素养水平差来说，大致可以将数感、符号意识、几何直观纳入到经验质量范畴，运算力、推理力、空间观和模型思想归结到方法水平范畴，则数据分析观、应用意识和创新意识属于数学修养文化范畴.数学章头图恰好能承载课程认知“十大核心概念”的目标意义，就这一属性理解来说，初中段数学教育的“新能源”“新材料”“新素养”的研发基地就是对章头图的开发与利用.
苏科版八年级《数学》上册“第1章全等三角形”是以“两扇雕花的窗格”“两个全等三角形”为章头图，研读章头图的过程就是感受全等图形和全等三角形特征的过程，投射了空间观念和几何直观成分，揭示数学与生活的关系；“第3章勾股定理”是以2002年世界数学家大会会标“弦图”“梯子靠墙性数组”为章头图，研究弦图和特定数组的过程就是把握勾股定理本质及其应用建模的过程，涵盖数感、数据分析观、应用和创新意识成分，标志我国古代验证数学力的发展水平.苏科版九年级《数学》下册“第6章图形的相似”是以“不同底板的长城照片”“非特殊相似三角形”为章头图，反映相似变换的整体特性.研读章头图的过程就是体会相似形的性质、探索图形相似条件的过程，涵盖符号意识、运算力、推理力以及建模意识的培养倾向，发展了学生的观察学习和联想学习等学科性素养，终于数学课程教育对人的发展质量的要求.
于此可见，章头学的教育作用超越了单纯的“四基”“四能”目标范畴，给人的发展带来了无限的变革空间，用好章头图是未来数学教育的新方向.就与时俱进的课程教育使命来说，章头图与审美直觉、课程目标、问题解决和学科素养的关系不止于人学修为观，还包括辩证法、经济学、社会学和测量学等素养质量观意识.限于文本属性，这里暂时不予研究.
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