分类讨论思想在高中数学解题中的应用
一、全面讨论，层次分类
分类讨论运用于数学教学中，最为重要的一点就是要能够根据题目提供的数据和条件来确定要讨论的参数，并据此进行合理的分类，做到不重复且没有遗漏，讨论时层次应清晰明确，做到不越级讨论。教师在灌输分类讨论思想的时候，应将这些要素一一交代清楚，这样解题时才能够全面而且充分，没有遗漏。很多学生解题时出现差错原因就在于没有按层次分类并全面地讨论。
例题1 存在函数y=x2―2x，x∈[-2，a]，求函数的最小值。
解析：在二次函数的解题中经常会使用到分类讨论，如例题1所示的题目，也是较为常见的二次函数求最值题。在解答这一问题时，学生根据所学知识，首先会想到该函数的对称轴为直线x=1，但是x=1是不是在区间[-2，a]之内，就需要进行分类讨论。在讨论过程中，据题目提供的条件，需要明确讨论的对象参数并进行合理的分类讨论，具体分类如下：当-2根据上述分类讨论的过程可以发现，分类讨论需要做到全面且有层次，不能重复也不能有所遗漏，任何一项失误都会导致最后的结果错误。在分类中，还需要统一标准，有层次、分阶段地讨论，不能盲目随意地分类讨论，否则也容易出差错。也就是说，在进行分类的时候，应根据题目条件和问题的性质，尽可能少地、精准地分类，在不重复不缺漏的情况下，有了层次分明的分类后，自然能够正确地解答问题。
二、掌握定理，正确分类
在高中数学中有很多公式定理其实都与分类讨论相关，这是因为在公式以及定理中本身就存在严格的限制条件，故而根据定理或公式进行解题的时候就需要依据这些定理的限制条件进行相关的分类讨论，以避开讨论结果不严谨的情况。不少学生不能争取让运用分类讨论的思想解题，很大一部分原因也在于对定理、公式的掌握不透彻，解题时没能充分考虑到所使用的定理和公式的限制条件。根据定理、公式运用的分类讨论，在等比数列的求和公式、绝对值的定义以及二次函数的定义等方面十分常见，教师教学时要注意引导学生透彻掌握定理、公式。
例题2 存在二次函数y=（a-1）x（b+1）+x2+1，试求a和b的取值范围。
解析：解这道题时主要是根据二次函数的性质定理来进行相应的分类讨论，因为y=（a-1）x（b+1）+x2+1是二次函数，那么x的指数明显不能超过2，据此（b+1）的值就可以分成三种情况：（b+1）=1或（b+1）=0或（b+1）=2，根据这三种情况讨论b的取值范围，对a的取值范围的讨论也根据二次函数的定义及性质理论进行同样的分类讨论。又如，在求等比数列前n项和的题目中，主要依据的也是等比数列的求和公式，就需要分q=1和q≠1两种情况进行讨论了。这些都是根据定理或公式展开的分类讨论，可见在数学教学或解题中使用分类讨论的思想，主要定理与公式是必须掌握的。这一类型的分类就是数学概念上的知识运用，利用概念进行解题的时候，分类是十分重要的。此外，有一些数学定理和公式在定义的时候所要求的范围已经有了限制，对于这种前提也需要使用分类讨论的思想，这点教师在教学中需要注意。
三、准确理解，确定分类
结合近年来的高考题目不难发现，分类讨论思想愈发成为重点考查的知识点，尤其是往后的大题中，使用分类讨论解题更加普遍。其中，那些需要根据不同的参数来确定分类标准的题目，其确定的过程更直接决定着整道题目能否正确解开，这就要求教师在教学中应引导学生把握好分类讨论，正确认识分类标准并能做出合理的分类，以应对考试中的各种变化。
例题3 存在函数g（x）=ax2-2x-2a，a∈R，假设g（x）>0的解集为G，F={x??1解析：这道题看起来很复杂，似乎存在不少未知数，学生容易被唬住而觉得无从下手。仔细分析后可以发现，这道题将高中多种数学知识都结合在了一起，这就更要求学生在解题时能够根据题目中提供的参数仔细分层，不重复也不遗漏，按照题目要求明确分类标准后，再进行讨论，根据二次函数的性质，分类的情况主要为a>0和a<0两种情况。
四、合作学习，深化讨论
分类讨论在高中数学中的运用是多方面的，其学习的组织形式上也可以是多种多样的，小组合作的形式是经过证明后比较有效地一种学习方式。同样的，将小组合作学习的形式与分类讨论的教学相结合，指导学生通过分类讨论相关知识，可以促使学生互相交换不同的学习意见，既能够及时解决学生在学习当中的困惑，也可以在讨论中获得一个比较明确的答案。
在分类讨论的教学中，小组合作的活动形式可以是多样的，如教师可以让学生将新旧知识结合起来进行分类讨论，像方程、不等式等就可以进行分类讨论；也可以将同类的高考题目或者月考题型集中起来进行分类讨论；还可以就数学概念之间的相似与不同进行分类讨论与归类，加深对数学概念的印象等。可以说，分类讨并不只是运用在具体的某一类题型的解答中，而是可以渗透在数学的方方面面，它可以是抽象的，也可以是具象的。同时，小组的合作学习能够打破个体学习的局限性，增强学生学习的趣味性，提高学生的学习自信心，引导学生将来主动地分类、思考。
综上所述，分类讨论思想在高中数学中的运用相当广泛，它不仅可以帮助学生理清思路、快速解题，提高解题的正确率，同时还能够有效锻炼学生的解题思维，对学生数学学习中的严密性和灵活性之训练也有帮助。从高考来看，很多问题也是离不开分类讨论思想的。因此，在教学中，教师要结合自己的教学经验，总结出更多更有效的方法，帮助学生充分使用分类讨论思想来解题。
